Conjecture d'Artin sur les racines primitives

Pour les articles homonymes, voir Conjecture d'Artin sur les fonctions L.

En mathématiques, la conjecture d'Artin est une conjecture sur la densité des nombres premiers qui sont des racines primitives. En termes simplistes, la conjecture d'Artin affirme qu'environ 37% des nombres premiers sont des générateurs.

Plus précisément, notons S(a) l'ensemble des nombres premiers p tel que a génère $\mathbb{(Z}/p\mathbb{Z)}^*$. Dans son journal, Helmut Hasse mentionne qu'Emil Artin lui a communiqué le 27 septembre 1927 la conjecture suivante (nous donnons ici une formulation plus précise due à Derrick Lehmer) :

Si $a \neq -1$ et si a n'est pas un carré (cas peu intéressants car S(a) est alors vide ou réduit à {2}), alors

1. S(a) a une densité strictement positive parmi l'ensemble des nombres premiers. (Ceci implique en particulier que S(a) est infini).
2. Si a est un entier sans facteur carré, alors S(a) a une densité indépendante de a et égale à la constante d'Artin, qui s'exprime sous la forme du produit infini suivant : $C_{Artin}(a)=C_{Artin}=\prod_{p\ \mathrm{prime},\ p>0} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right) = 0,3739558136\ldots$
3. Si a=b^k, alors la constante est multiplié par un facteur (faisant intervenir une fonction multiplicative vérifiant v(qⁿ)=q (q-2) / (q²-q-1)) : $C_{Artin}(b^k)=v(k) \prod_{p\ \mathrm{prime},\ p>0} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right) = v(k) \times 0,3739558136\ldots$
4. Si a=b² c, avec c un entier sans facteur carré, et si c=1 mod 4 alors la constante est multipliée par un autre produit : $C_{Artin}(b^2 c)= \left(1-\prod_{q\ \mathrm{prime},\ q|c} \frac{1}{1+q-q^2}\right) \prod_{p\ \mathrm{prime},\ p>0} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right)$
5. Dans les autres cas, on obtient la même constante que dans le cas sans facteur carré : $C_{Artin}(a)=C_{Artin}=\prod_{p\ \mathrm{prime},\ p>0} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.3739558136\ldots$

Par exemple, pour a = 2, la conjecture affirme que l'ensemble S(2) des nombres premiers p pour lesquels 2 est une racine primitive a la densité C_Artin. Cet ensemble est suite A001122 de l’OEIS : S(2)={3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, ...}. Il a 38 éléments plus petit que 500 et il y a 95 nombres premiers plus petits que 500. La proportion est donc 38/95=0.41051... (et la conjecture affirme que cette proportion tend vers C_Artin).

Pour prouver la conjecture, il suffit de considérer les cas où a est un nombre premier (par multiplicativité des fonctions associées à l'expression de la constante d'Artin pour les cas où a est composé). En 1967, Christopher Hooley (en) a publié une preuve reposant sur l'hypothèse de Riemann généralisée (dont la véracité n'est pas à ce jour établie)^[1]. En 1984, R. Gupta et M. Ram Murty (en) ont montré (indépendamment de toute hypothèse) que la conjecture d'Artin est vraie pour un nombre infini de valeurs de a, en utilisant une méthode de crible^[2]. Roger Heath-Brown (de) a amélioré ce résultat en montrant qu'il y a au plus deux trublions^[3]. Ce résultat n'est pas une démonstration constructive et on ne sait donc pas ce que valent ces trublions. Ainsi, si l'on considère a=3, 5 ou 7, le théorème de Heath-Brown nous dit que la conjecture est vraie pour au moins l'une de ces valeurs, mais on ne sait pas dire laquelle ! À ce jour, il n'y a d'ailleurs pas une seule valeur de a pour laquelle nous ayons une preuve de la conjecture d'Artin : on ne sait donc même pas si S(2) est infini.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Artin's conjecture on primitive roots » (voir la liste des auteurs)

1. ↑ Hooley, Christopher (1967). "On Artin's conjecture." J. Reine Angew. Math. 225, 209-220.
2. ↑ Gupta, Rajiv & Murty, M. Ram (1984). "A remark on Artin's conjecture." Invent. Math. 78 (1), 127-130.
3. ↑ Heath-Brown, D.R. (1986). "Artin's conjecture for primitive roots." Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 37, 27-38.

Article connexe

Conjecture de Brown-Zassenhaus