Connexité par arcs

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie, la connexité par arcs est un raffinement de la notion de connexité. Un espace topologique est dit connexe par arcs si deux points quelconques peuvent toujours être reliés par un chemin. En fait, la connexité est la notion fondamentale. Mais la connexité par arcs est plus intuitive, et se trouve être très souvent la meilleure façon de prouver la connexité.

Chemins

Avant de définir la connexité par arcs, il faut définir ce qu'on appelle « relier par un chemin ». Selon le cadre où l'on se trouve, on peut considérer des chemins particuliers.

Chemins dans un espace topologique

• Article principal : chemin (topologie).

Si E est un espace topologique et si x et y sont deux points de E, on appelle chemin d'origine x et d'extrémité y toute application continue $\gamma : [0,1] \rightarrow E$ telle que γ(0) = x et γ(1) = y.

On dit que x et y sont reliés s’il existe un chemin d'origine x et d'extrémité y.

La relation « x est relié à y » est une relation d'équivalence sur E, dont les classes d'équivalence sont appelées les composantes connexes par arcs de E.

Démonstration

• x est relié à x, grâce au chemin constant γ(t) = x pour tout $t \in [0,1]$;
• si x est relié à y alors y est relié à x, grâce au chemin opposé $\overline{\gamma}(t) = \gamma (1-t)$ pour tout $t \in [0,1]$;
• si x est relié à y et y est relié à z alors x est relié à z. En effet, si γ₁ relie x à y et γ₂ relie y à z alors le chemin composé $\gamma = \gamma_2 \star \gamma_1$ défini par γ(t) = γ₁(2t) si $0 \leq t \leq 1/2$ et γ(t) = γ₂(2t − 1) si $1/2 \leq t \leq 1$ relie x à z.

Chemins dans un espace vectoriel normé

Dans le cas où l'espace ambiant E est un espace vectoriel normé, on peut préciser la nature des chemins qui relient les points.

• Chemins rectilignes : un chemin est dit rectiligne s'il peut s'écrire $\gamma(t) = x + t \vec{u}$ pour tout $t \in [0,1]$. Le vecteur $\vec{u}$ est appelé vecteur directeur de γ. Le support du chemin est alors un segment de droite.

• Chemins polygonaux : un chemin est dit polygonal s’il s'écrit comme un composé d'un nombre fini de chemins rectilignes. Par exemple, un trajet dans Manhattan est un chemin polygonal.

• Chemins de classe $\mathcal{C}^k$ : un chemin peut être de classe $\mathcal{C}^k$ avec $k \in \N$. En fait tout chemin est de classe $\mathcal{C}^0$ c'est-à-dire continu, mais on peut avoir des niveaux de régularité supérieurs. Un chemin de classe $\mathcal{C}^k$ avec $k \in \N^*$ sera dit de plus régulier si $\gamma ' (t) \neq 0$ pour tout $t \in [0,1]$. Un chemin régulier de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ est dit chemin lisse.

Connexité par arcs

Ces différents types de chemins vont permettre de définir différents types de connexité par arcs selon les cas.

Définition

Deux points quelconques peuvent être reliés par un chemin tracé dans cette partie

Un espace topologique E est dit connexe par arcs si tout couple de points de E est relié par un chemin.

Une partie A de E (munie de la topologie induite) est donc connexe par arcs si et seulement si tout couple de points de A est relié par un chemin restant dans A.

Une partie A d'un espace vectoriel normé est dite connexe par arcs polygonaux (respectivement par arcs $\mathcal{C}^k$) si deux points quelconques de A peuvent être reliés par un chemin polygonal (respectivement de classe $\mathcal{C}^k$).

L'adhérence C du graphe Γ de f est connexe, mais pas connexe par arcs.

Lien avec la connexité

Tout espace connexe par arcs est connexe, mais la réciproque est fausse. Voici un contre-exemple classique. On définit une fonction f par

$\begin{matrix}f : & ]0,1] &\to& \R \\ & x &\mapsto &\sin\left(\frac1x\right).\end{matrix}$

Cette fonction est continue sur ]0,1]. On note $\Gamma = \{ (x,f(x)) | x \in ]0,1] \}$ le graphe de f et $C = \overline{\Gamma} = \Gamma \cup \left( \{ 0 \} \times [-1,1] \right)$ l'adhérence de Γ.

Alors Γ est connexe (comme graphe d'une fonction continue sur un intervalle réel) donc son adhérence C aussi, mais C n'est pas connexe par arcs.

De même, la courbe sinus du topologiste est connexe mais pas connexe par arcs.

Cependant tout espace connexe et localement connexe par arcs (par exemple : tout ouvert connexe d'un espace vectoriel normé comme l'espace ${}^{\R^n}$) est connexe par arcs.

Lien avec la continuité

La connexité par arcs, comme la connexité, est conservée par les applications continues. Si $f : E \rightarrow F$ est une application continue entre deux espaces topologiques et si l'espace de départ E est connexe par arcs, alors son image f(E) est connexe par arcs.

Démonstration

Si $(x,y) \in f(E)^2$, alors il existe a et b dans E tels que x = f(a) et y = f(b). L'ensemble E étant connexe par arcs, il existe un chemin $\gamma : [0,1] \rightarrow X$ reliant a à b. L'application composée $\gamma' = f \circ \gamma : [0,1] \rightarrow f(E)$ est continue, et relie x à y, ce qui montre que f(X) est connexe par arcs.

On a des résultats similaires pour les types plus spécifiques de connexités par arcs :

• la connexité par arcs polygonaux est conservée par les applications linéaires et par les applications affines ;
• la connexité par arcs $\mathcal{C}^k$ est conservée par les $\mathcal{C}^k$-difféomorphismes.

Produit

Tout produit d'espaces connexes par arcs est connexe par arcs.

En effet, si x et y sont deux points de $E=\prod_{i\in I}E_i$ et si les E_i sont connexes par arcs, il existe pour chaque indice i un chemin γ_i à valeurs dans E_i tel que : γ_i(0) = x_i, γ_i(1) = y_i. Le chemin $\gamma:[0,1]\to E$ défini par $\gamma(t)=(\gamma_i(t))_{i\in I}$ joint alors x à y.

Exemples

• Dans un espace vectoriel normé, une partie convexe ou étoilée est connexe par arcs.
• Un cercle est connexe par arcs $\mathcal{C}^{\infty}$ lisses mais pas par arcs polygonaux.
• Un carré est connexe par arcs polygonaux mais pas par arcs $\mathcal{C}^{\infty}$ lisses.
• Le plan privé des points à coordonnées rationnelles : $\R^2 \backslash {\mathbb Q}^2$ est connexe par arcs polygonaux et même connexe par arcs $\mathcal{C}^{\infty}$^{[réf. nécessaire]}.
• Le groupe spécial orthogonal $\mathrm{SO}_{n}(\mathbf{R})$ et le groupe général linéaire $\mathrm{GL}_{n}(\mathbf{C})$ sont connexes par arcs (pour la topologie induite par une norme sur $\mathbf{M}_{n}(\mathbf{C})$).

Voir aussi

• Connexité
• Convexité
• Connexité simple