Constante De Prouhet-Thue-Morse

Constante de Prouhet-Thue-Morse

En mathématiques et dans ses applications, la constante de Prouhet-Thue-Morse est le nombre $\tau\,$ dont le développement binaire est la suite de Prouhet-Thue-Morse. C’est-à-dire,

$\tau = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{t_i}{2^{i+1}} = 0,412454033640 \ldots$

où t_i est la suite de Prouhet-Thue-Morse.

La série génératrice pour t_i est donnée par

$\tau(x) = \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^{t_i} \, x^i = \frac{1}{1-x} - \sum_{i=0}^{\infty} t_i \, x^i$

et peut être exprimée par

$\tau(x) = \prod_{n=0}^{\infty} ( 1 - x^{2^n} ).$

Note : curieusement ceci est le produit de polynômes de Frobenius, et ainsi se généralise aux corps arbitraires.

Ce nombre a été montré transcendant par Kurt Mahler en 1929.

Applications

La constante de Prouhet-Thue-Morse apparaît dans bon nombre de contextes mathématiques. Certains d'entre eux sont listés ci-dessus.

• Elle apparaît comme l'angle du rayon de Douady-Hubbard à la fin de la suite des ampoules à l'ouest de l'ensemble de Mandelbrot. Ceci peut être facilement compris en raison de la nature du doublement de période dans l'ensemble de Mandelbrot.

Liens externes

• On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Entry A010060
• The ubiquitous Prouhet-Thue-Morse sequence, John-Paull Allouche et Jeffrey Shallit, (non daté, 2004 ou plus tôt) ont fourni beaucoup d'applications et l'histoire
• PlanetMath entry
• Parameter Ray Atlas (2000) fournit un lien vers l'ensemble de Mandelbrot.

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