Constante d'Euler-Mascheroni

En mathématiques, la constante d'Euler-Mascheroni, ou constante d'Euler, est une constante mathématique, utilisée principalement en théorie des nombres, définie comme la limite de la différence entre la série harmonique et le logarithme naturel.

Liste des nombres γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binaire	0.1001001111000100011...
Décimal	0.5772156649015328606...
Hexadécimal	0.93C467E37DB0C7A4D1B...
Fraction continue	$0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ \ddots\ {}}}}}}$ (on ignore encore si cette fraction continue se termine ou non).

Définition

La constante d'Euler-Mascheroni γ est définie comme étant :

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right)$,

ou, de façon condensée :

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^{n} \frac {1}{k} - \ln(n) \right)$.

La constante peut également être définie sous la forme explicite d'une série (telle qu'elle fut d'ailleurs introduite par Euler) :

$\gamma = \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{k} - \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \right]$

La série harmonique diverge, tout comme la suite de terme général ln(n) ; l'existence de cette constante indique que les deux expressions sont asymptotiquement liées.

Valeur approchée et propriétés

Les 100 premières décimales de la constante d'Euler-Mascheroni sont :

$\gamma\,$ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495

Le calcul au moyen de la suite $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n)$ est extrêmement lent et imprécis. Il présente néanmoins un intérêt pédagogique pour se sensibiliser aux problèmes de propagation d'erreurs d'arrondi. En simple précision, pour 100 000 termes, en sommant dans l'ordre naturel, il y a une erreur sur la 4^e décimale, erreur beaucoup plus faible si la somme est effectuée dans l'ordre inverse (du plus petit au plus grand), ou si on utilise l'algorithme de Kahan (voir somme (algorithmique)). Pour un million de termes, l'erreur atteint la 2^e décimale dans le sens naturel, et la 4^e décimale dans le sens inverse ; par contre, par la méthode de Kahan, on a atteint les 6 décimales exactes.

Des méthodes plus efficaces doivent être mises en œuvre pour obtenir une précision suffisante. Par exemple, l'utilisation de la formule d'Euler-Maclaurin permet d'obtenir des développements asymptotiques tels que :

$\gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) - \frac{1}{2n} + \frac{1}{12n^2} - \frac{1}{120n^4} + ...$

Cela permit à Euler d'obtenir 16 décimales de γ. Puis Lorenzo Mascheroni en proposa 32 en 1790, mais avec une erreur à partir de la 20^e, erreur corrigée en 1809 par Johann von Soldner. Donald Knuth donne 1271 décimales en 1962, Thomas Papanikolaou donne un million de décimales en 1997, P. Dechimel et X. Gourdon en donnent cent millions deux ans plus tard. En 2008, le record est de dix milliards de décimales, par Shigeru Kondo et Steve Pagliarulo.

On ignore toujours si la constante d'Euler-Mascheroni est ou non un nombre rationnel. Cependant, l'analyse en fraction continue de la constante indique que si elle est rationnelle, son dénominateur possède plus de 242080 chiffres^[1].

Formules diverses

Formules intégrales

La constante d'Euler-Mascheroni intervient dans plusieurs intégrales :

$\gamma = \int_1^\infty\left({1\over E(x)}-{1\over x}\right)\,{\rm d}x$ (où E est la fonction partie entière)

$= 1 - \int_1^\infty\ \frac{x - E(x)}{x^2} \,{\rm d}x$

$= - \int_0^1 { \ln\ln\left(\frac{1}{x}\right) }\,{\rm d}x$

$= \int_0^1 \frac{1}{\ln(x)} + \frac{1}{1-x} \,{\rm d}x$

$= \int_0^\infty {\left(\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right)e^{-x}}\,{\rm d}x$

$= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right) }\,{\rm d}x$.

Il est possible (Sondow 2003, 2005) d'exprimer γ sous forme d'une intégrale double (avec ici la série équivalente) :

$\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, {\rm d}x\,{\rm d}y = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n}-\ln \left( \frac{n+1}{n} \right) \right)$.

Une autre constante s'exprime de façon analogue (Sondow 2005) :

$\ln \left( \frac{4}{\pi} \right) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)} \, {\rm d}x\,{\rm d}y = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n}-\ln \left( \frac{n+1}{n} \right) \right)$.

Ces deux constantes sont également liées par deux séries (Sondow 2005a) :

$\gamma = \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)}$

$\ln \left( \frac{4}{\pi} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) - N_0(n)}{2n(2n+1)}$

où N₁(n) et N₀(n) sont le nombre de 1 et de 0 dans l'écriture de n en base 2.

On trouvera d'autres expressions non classiques de la constante d'Euler dans l'article Mesure secondaire.

Formules en relation avec certaines fonctions analytiques

La constante d'Euler-Mascheroni possède des liens avec d'autres fonctions particulières :

• Fonction gamma :

  $\Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}\,{\rm d}t = {1 \over {ze^{\gamma z} \displaystyle{\prod_{n=1}^\infty (1+z/n)e^{-z/n}}}}$

  $\Gamma(x) = \frac{1}{x} - \gamma + o(1)$ quand x tend vers 0.

  $\Gamma'(1) = \int_0^\infty { e^{-x} \ln x }\,{\rm d}x= -\gamma$

  $\Gamma''(1) = \int_0^\infty { e^{-x} (\ln(x))^2 }\,{\rm d}x = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}$.

  $\Gamma'(1/2) = 4 \int_0^\infty { e^{-x^2} \ln(x) }\,{\rm d}x = - (\gamma+2 \ln 2) \sqrt{\pi}$

• Fonction exponentielle intégrale :

  $E_1(z) = \int_z^\infty {e^{-t} \over t}\,{\rm d}t = \int_1^\infty {e^{-zt} \over t}\,{\rm d}t = e^{-z}\int_0^\infty {e^{-zt} \over {1+t}}\,{\rm d}t$

  $= {e^{-z} \over z} \int_0^\infty {e^{-t} \over {1+t/z}}\,{\rm d}t = - \ln z - \gamma + \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n-1}z^n \over n.n!}$

• Fonction logarithme intégral :

  ${\rm pour} \; x > 1,\ \mathrm{li} (x) = \gamma + \ln(\ln(x)) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(x)^{n}}{n \cdot n!}$

• Fonction cosinus intégral :

$\forall x > 0,\ \mathrm{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!(2n)}$

• Fonction psi :

  $\psi(z) = {\Gamma'(z) \over \Gamma(z)} = - \gamma - {1 \over z} + \sum_{n=1}^\infty {1 \over n} - {1 \over n+z}$

  En particulier, $\psi(1) = \Gamma'(1) = - \gamma \,$ et $\sum_{k=1}^n {1 \over k}= \psi(n+1) + \gamma$

• Fonction zêta de Riemann :

  $\zeta(1+x) = \frac{1}{x} + \gamma + o(1)$ quand x tend vers 0.

  $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n} (\zeta(n)-1) = 1 - \gamma$

  $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)2^{2n}} (\zeta(2n+1)-1) = 1 - \gamma - \ln\frac{3}{2}$

  $\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \zeta(n) = \gamma$

Formules en relation avec certaines fonctions arithmétiques

Dans ce paragraphe, p désigne un nombre premier.

• $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n)} \prod_{p \le n} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{-1} = e^\gamma$ (théorème de Mertens)
• $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n)} \prod_{p \le n} \left(1 + \frac{1}{p}\right) = \frac{6e^\gamma}{\pi^2}$
• Soit Λ la fonction définie sur les entiers par Λ(n) = ln(p) si n est une puissance du nombre premier p et Λ(n) = 0 sinon. Alors $\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)-1}{n} = -2\gamma$
• Soit d(n) le nombre de diviseurs de n (y compris 1 et n lui-même). Alors $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n d(k) = \ln(n) + 2\gamma - 1 +o(1)$ quand n tend vers l'infini.
• Soit σ(n) la somme des diviseurs de l'entier n. Alors $\limsup \frac{\sigma(n)}{n\ln(\ln(n))}=e^\gamma$, où limsup désigne la limite supérieure de la suite.
• Soit ϕ la fonction indicatrice d'Euler. Alors $\liminf \frac{\phi(n)\ln(\ln(n))}{n}=e^{-\gamma}$, où liminf désigne la limite inférieure de la suite.

Généralisation

Article détaillé : Constantes de Stieltjes.

Il est possible de généraliser le sujet en définissant les constantes suivantes :

$\gamma (m) = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac{(\ln k)^m}{k} - \frac{(\ln n)^{m+1}}{m+1} \right)$.

On constate que γ(0) = γ, la constante d'Euler.

Voir aussi

Notes

1. ↑ Havil, Julian, Gamma: Exploring Euler's Constant. (p.97) Princeton University Press (2003). ISBN 0-691-09983-9.

Références

• (en) G.H. Hardy, E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, Clarendon Press (2005), pour les formules en relation avec les fonctions arithmétiques.
• (en) Julian Havil, Gamma, exploring Euler's constant, Princeton University Press (2003)
• (en) Jonathan Sondow (2003) Criteria for irrationality of Euler's constant, Proceedings of the American Mathematical Society (en), vol. 131, p. 3335-3344.
• (en) ------ (2005) Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula, American Mathematical Monthly, vol. 112, p. 61-65.
• (en) ------ (2005a) New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π.

Articles connexes

• Constante de Brun
• Constante de Meissel-Mertens
• Série harmonique

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Euler-Mascheroni Constant », MathWorld
• (en) Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History par Stefan Krämer, de l'université de Göttingen