Contact de Hertz

Lorsqu'on presse une sphère sur un matériau élastique, la surface de contact augmente.

Contrainte au contact entre deux sphères (pour deux sphères, les deux axes du contact ont la même longueur : a=b).

En génie mécanique et en tribologie, le contact de Hertz, est une description, due à Heinrich Rudolf Hertz (dont le nom est également associé aux unités SI Hertz), de la contrainte au sein de deux objets en contact. La description du contact de Hertz, obtenue en 1880^[1] et publiée en 1881^[2], s'applique au contact de deux sphères de rayons différents.

Généralités

Le contact de Hertz se réfère aux contraintes localisées qui se développent lorsque deux surfaces courbes viennent en contact et se déforment légèrement sous l'action des forces appliquées. Le degré de déformation dépend de l'élasticité du matériau en contact, autrement dit, de son module élastique. La théorie du contact de Hertz fournit la contrainte dans la zone de contact en fonction de la force normale appliquée, des rayons de courbure des deux corps et de leur module élastique.

Dans les engrenages et les roulements en mouvement, ces forces de contact sont cycliques. À la longue, elles entraînent une fatigue du matériau et l'apparition de fissures sous la surface.

La théorie du contact de Hertz constitue le fondement des équations pour le calcul du chargement admissible pour les roulements, les engrenages et autres pièces dont deux surfaces sont en contact.

Résultats essentiels

Prenons la situation simple d'une sphère et d'un plan (limite où l'une des sphères est de dimension infinie). L'enfoncement de la sphère dans le matériau élastique augmente avec la force compressive appliquée, comme dans toute situation d'élasticité.

Surface de contact

Dans le cas du contact de Hertz, le premier résultat important est que la surface de contact augmente avec l'enfoncement. Cela est dû essentiellement à la géométrie : le contact est initialement ponctuel, et il s'élargit au fur et à mesure de l'enfoncement. En fait, à un facteur numérique près, on peut déduire la dimension du contact d'une simple construction géométrique. Ainsi, lorsque la sphère s'enfonce, son intersection avec le plan initial est un disque dont le rayon a vérifie :

$a^2\simeq R\,\delta$,

où δ est l'enfoncement, et R le rayon de la sphère.

Réponse non linéaire

Le second résultat non trivial est que la relation entre la force apliquée F et l'enfoncement δ n'est pas linéaire :

$F\propto \delta^{3/2}$

La raison essentielle en est justement que la surface de contact $\pi\,a^2$ entre la sphère et la plan augmente au cours de l'enfoncement. Tout calcul fait (voir plus bas), le rayon de la zone de contact varie comme :

$a\propto F^{1/3}$

Estimation de l'énergie élastique

Tous les calculs sont menés sous forme d'ordre de grandeur, sans tenir compte des facteurs numériques.

Déformation du matériau

Lors d'un enfoncement de δ avec une aire de contact de rayon a (avec $a \ll R$) la déformation est de l'ordre de :

δ / a

Volume déformé

La région dans laquelle la déformation du matériau est de l'ordre de δ / a a un volume de l'ordre de

a³

Énergie élastique

L'énergie élastique par unité de volume pour une déformation $\epsilon$ s'écrit $\frac12 \,E\, \epsilon^2$, qui est ici de l'ordre de $E\,(\delta/a)^2$.

L'énergie élastique totale s'obtient par intégration. Ici, son ordre de grandeur est donné par le produit de la densité maximale d'énergie élastique de l'ordre de E(δ / a)² par le volume fortement déformé a³ :

$E_{el} \simeq E\,\left(\frac{\delta}{a}\right)^2\,a^3\simeq E \,a\,\delta^2$

En combinant avec la relation géométrique $a^2\simeq R\,\delta$, on obtient :

$E_{el} \simeq E\,a\,\delta^2=E\,\frac{a^5}{R^2}=E\,R^{1/2}\,\delta^{5/2}$

Estimation de la force, de l'enfoncement et de la taille de la zone de contact

Ici encore, tous les calculs sont menés sous forme d'ordre de grandeur, sans tenir compte des facteurs numériques.

La force s'obtient à partir de l'énergie E_el en dérivant par rapport au déplacement δ :

$F \simeq E\,R^{1/2}\,\delta^{3/2}$

Inversement, l'enfoncement s'écrit :

$\delta\simeq\left(\frac{F^2}{E^2\,R}\right)^{1/3}$

En utilisant la relation géométrique $a^2\simeq R\,\delta$, on obtient la taille de la zone de contact :

$a \simeq\left( \frac{F\,R}{E} \right)^{1/3}$

Résultat complet

Le calcul complet fournit :

$F=\frac{4\,a^3\,E^\star}{3\,R}$

où $E^\star$ est le module d'Young E renormalisé par le coefficient de Poisson ν :

$E^\star=\frac{E}{1-\nu^2}$

Esquisse du calcul complet pour une sphère et un plan

Le profil de pression exercé entre les deux objets au sein de leur disque de contact est schématisé sur la figure : il est maximal au centre du contact et décroît lorsqu'on s'éloigne du centre, jusqu'à s'annuler au bord du contact. Dans ce paragraphe, nous indiquons les grandes lignes du calcul permettant d'obtenir le profil de pression exact ainsi que la déflexion exacte de la surface initialement plane.

Lien entre un profil de pression et un profil de déflexion

Une force ponctuelle exercée à la surface du plan (supposé horizontal pour fixer les idées) donne lieu à une déflexion verticale très profonde (infinie, en principe) au point d'application de la force. Cette déflexion décroît à mesure que l'on s'écarte (distance horizontale r) du point d'application. Cette déflexion verticale u(r) est due à Boussinesq et s'écrit :

$u(r)=\frac{F}{\pi E^\star r}$

En réalité, la force totale F est répartie sur une certaine surface, sous la forme d'une pression $p(\vec{X})$ qui dépend de la position $\vec{X}$ dans la surface de contact. Par conséquent, chaque élément de pression contribue à la déflexion u. Ainsi, en un point quelconque $\vec{x}$ du plan (pas nécessairement à l'intérieur du contact), la déflexion $u(\vec{x})$ est la somme des contributions de tous les éléments de pression situés dans la surface de contact, via la relation de Boussinesq citée plus haut :

$u(\vec{x})=\int\int\frac{p(\vec{X})}{\pi E^\star r}{\rm d}^2\vec{X},$

où $r=||\vec{x}-\vec{X}||$ est la distance entre le point d'application $\vec{X}$ de l'élément de pression et le point $\vec{x}$ où l'on observe la déflexion.

Remarque : en termes mathématiques, l'intégration effectuée pour obtenir le profil de déflexion $u(\vec{x})$ constitue ce qu'on appelle la convolution du profil de pression $p(\vec{X})$ et de la réponse de Boussinesq u(r) à une force ponctuelle.

Profil de Hertz

La réponse de Boussinesq étant connue, le travail de Hertz a consisté à découvrir le bon profil de pression pour obtenir un profil de déflexion u(r) qui coïncide, dans la zone de contact, circulaire et de rayon a, avec le profil de la sphère de rayon R enfoncée d'une distance δ, c'est-à-dire :

$u(r) = \delta - \frac{r^2}{2R}$, pour r < a.

Puisque l'ensemble du système est symétrique autour de l'axe vertical passant par le centre de la sphère, le profil de pression est axisymétrique, et nous le notons donc désormais p(r). Hertz a monrté que ce profil de pression s'écrit :

$p(r)=p_0\sqrt{1-\frac{r^2}{a^2}}$, avec $a=\sqrt{R\delta}$ et $p_0 = \frac{2 E^\star \delta}{\pi a} = \frac{2 a E^\star}{\pi R} = \frac{2 E^\star}{\pi}\,\sqrt{\frac{\delta}{R}}$.

Remarque. Le profil de déflexion en dehors de la zone de contact se raccorde au plan horizontal non déformé u = 0 lorsque la distance au centre, r, tend vers l'infini :

$u(r) = \frac{1}{\pi R}\left[(2a^2-r^2)\arcsin\left(\frac{a}{r}\right)+a\sqrt{r^2-a^2}\right]$, pour r > a.

Force exercée

La force ainsi exercée n'est autre que l'intégrale du profil de pression :

$F=\int p(r)\,2\pi r\,{\rm d}r = \frac{4\,E^\star a \delta}{3} = \frac{4\,E^\star a^3}{3R} = \frac{4\,E^\star R^{1/2}\delta^{3/2}}{3}$.

Notes et références

1. ↑ K. L. Johnson, Contact mechanics (1985), Cambridge University Press, p. 90. Afin de contextualiser ce travail remarquable pour un étudiant de seulement 23 ans, signalons cependant que Joseph Boussinesq avait, deux ans auparavant, publié la solution de plusieurs cas particuliers de ce problème, solutions reprises dans sa Théorie des potentiels.
2. ↑ (de) Heinrich Hertz, « Über die Berührung fester elastischer Körper (Sur le contact entre corps élastiques) », dans J. für reine und angewandte Mathematik, vol. 92, 1881, p. 156-171 [texte intégral (page consultée le 24 mai 2008)] 

Voir aussi

Articles connexes

• même situation, mais avec en outre l'énergie d'adhésion : Johnson, Kendall et Roberts (1971)
• Tribologie - Contacts localisés
• Roulement mécanique