Contraction Tensorielle

Contraction tensorielle

En algèbre multilinéaire, la contraction est un procédé de calcul sur les tenseurs faisant intervenir la dualité. En coordonnées elle se représente de façon très simple en utilisant les notations d'Einstein et consiste à faire une somme sur un indice muet. Il est possible de contracter un tenseur unique de rang p en un tenseur de rang p-2, par exemple en calculant la trace d'une matrice. Il est possible également de contracter deux tenseurs, ce qui généralise la notion de produit matriciel.

Contraction pour un couple de tenseurs

L'exemple le plus simple de contraction est le crochet de dualité. Si E est un espace vectoriel sur R (ou n'importe quel corps K) et si E^* est l'espace dual, alors la contraction est l'application linéaire

$<\cdot,\cdot>:E^*\otimes E\rightarrow \mathbb R$

donnée par

$\langle \tilde a, \vec b\rangle = \tilde a (\vec b)$.

En composantes, une telle contraction s'écrit

$\tilde a (\vec b) = a_\gamma b^\gamma$

ce qui, selon les conventions de sommation d'Einstein, est un raccourci pour la somme

$a_\gamma b^\gamma = \sum_{i=1}^n a_ib^i$

dont le résultat est un scalaire.

Généralisation : contraction d'un tenseur

Un tenseur appartenant à l'espace $E\otimes \dots \otimes E \otimes E^*\otimes \dots \otimes E^*$ admet plusieurs contractions, associées au choix d'un espace E et d'un espace E^*.

La formulation en composantes est la suivante : soit T un tenseur de type (m, n) avec m≥1 et n≥1. On distingue deux indices particuliers, l'un contravariant et l'autre covariant. Le tenseur contracté correspondant est le tenseur de type (m−1, n−1) obtenu en donnant les mêmes valeurs aux deux indices et en sommant, tout en gardant les autres indices libres. Par exemple pour un tenseur (2,2) dans un espace de dimension 4, une des contractions est :

$T^{\alpha\beta}_{\gamma\beta} = T^{\alpha 0}_{\gamma 0} + T^{\alpha 1}_{\gamma 1} + T^{\alpha 2}_{\gamma 2} + T^{\alpha 3}_{\gamma 3} = U^\alpha_\gamma$

Si M est une matrice, tenseur de type (1,1), la seule contraction envisageable est le calcul de la trace.

Contraction d'un couple de tenseurs

Une contraction d'un tenseur T avec le tenseur T' est une contraction de leur produit tensoriel $T\otimes T'$, faisant intervenir un indice de T et un indice de T' .

Ainsi les matrices peuvent être vues comme des tenseurs de type (1,1). Le produit P de deux matrices M et N est une contraction

$M^\alpha_\beta N^\beta_\gamma = P^\alpha_\gamma$.

Contraction avec un tenseur métrique

La contraction avec un tenseur métrique permet d'étendre les propriétés de dualité. Le résultat, appelé transformation contraco, permet de « monter ou descendre » les indices. Il est possible, ensuite, d'effectuer de nouvelles contractions.

Par exemple en géométrie riemannienne, cette possibilité est utilisée pour définir le tenseur de Ricci et la courbure scalaire à partir du tenseur de courbure.

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