Contraction des longueurs

En relativité restreinte, la contraction des longueurs désigne la loi suivant laquelle la mesure de la longueur d'un objet en mouvement est diminuée par rapport à la mesure faite dans le référentiel où l'objet est immobile, du fait, notamment, de la relativité de la simultanéité d'un référentiel à l'autre. Toutefois, seule la mesure de la longueur parallèle à la vitesse est contractée, les mesures perpendiculaires à la vitesse ne changent pas d'un référentiel à l'autre.

En relativité générale, une contraction des longueurs est aussi prédite. Dans ce cadre, sa cause en est soit la même qu'en relativité restreinte, soit la gravitation ou une accélération.

En relativité restreinte

Mesure de la longueur d'un objet

Dans un référentiel quelconque de l'espace-temps, mesurer un objet c'est avoir deux détecteurs, immobiles et espacés d'une distance connue, qui sont simultanément en contact avec les extrémités de cet objet. Dans ce cas, la longueur de l'objet est la distance entre les deux détecteurs.

En considérant deux référentiels $\mathbb R$ et $\mathbb R'$ en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre, l'immobilité et la simultanéité étant relatives au référentiel, ce qui apparait être une mesure de longueur dans l'un n'en est pas une dans l'autre.

Si la mesure est faite dans le référentiel $\mathbb R'$, on y considère, pour la mesure de la longueur, des coordonnées où les extrémités sont simultanément détectées chacune par un détecteur fixe : donc $\ \Delta t' = 0$ entre la détermination de ces coordonnées, et $\ \Delta l'$, la distance entre les détecteurs est ainsi la distance mesurée entre les extrémités.

Avec les transformations de Lorentz

Les transformations de Lorentz sont, en supposant la vitesse parallèle à l'axe (ox) et en posant $\beta = \frac{v}{c}$ et $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}> 1$ :

$\,~\left\{ \begin{matrix} c \Delta t = \gamma \left( c \Delta t' - \beta \Delta x' \right)\\ \Delta x = \gamma \left( \Delta x'-\beta c \Delta t' \right) \\ \Delta y = \Delta y' \\ \Delta z = \Delta z' \end{matrix} \right. \,$

Pour la mesure faite dans le référentiel $\mathbb R'$, on a $\ \Delta t' = 0$, et on obtient $\Delta x = \gamma \Delta x' \, \Rightarrow \, \Delta x' = \gamma^{-1} \Delta x \, < \, \Delta x$

On montre aussi la non simultanéité de la détermination des extrémités vue depuis l'autre référentiel : $c \Delta t = - \gamma \beta \Delta x' \, \ne 0$

Une mesure dans chaque référentiel

On suppose que l'objet est immobile dans le référentiel $\mathbb R$, et, par rapport au référentiel $\mathbb R'$, est en translation à la vitesse $\ v$ dans le sens de sa longueur. En se rappelant que la norme de la vitesse $\ v$ de $\mathbb R'$ par rapport à $\mathbb R$ est égale à celle de $\mathbb R$ par rapport à $\mathbb R'$.

Dans le référentiel $\mathbb R$, où l'objet est immobile, on peut considérer que l'on y fait la vraie mesure, la longueur propre.

Ainsi dans $\mathbb R'$ il existe un lieu où peuvent être présents chacune des extrémités, à un intervalle de temps $\ \Delta t'$. On suppose qu'en ce lieu est placé un détecteur, et on considère les deux événements "rencontre entre le détecteur et une des extrémités" vus depuis chacun des référentiels.

• Dans $\mathbb R'$ : on a, évidemment, $\ \Delta t' = \Delta l' /v$, où $\ \Delta l'$ est la longueur de l'objet mesurée dans ce référentiel, et bien sûr la distance spatiale entre ces deux événements est nulle.
• Dans $\mathbb R$ : ce même intervalle de temps mesuré est $\ \Delta t = \Delta l /v$, où $\ \Delta l$ est la longueur de l'objet mesurée dans ce référentiel (la longueur propre, donc), par contre ces deux détections sont espacés de la longueur $\ \Delta l$, puisque dans ce référentiel, l'objet est immobile et c'est le détecteur qui se déplace.

Par l'invariance de l'intervalle d'espace-temps, on a $\Delta s^2\, =\, c^2\Delta t^2 - \Delta l^2 =\, c^2\Delta t'^2 \, .$ Donc, après quelques calculs, $\Delta l'^2 = \Delta l^2 \left( 1- \frac{v^2}{c^2} \right) < \Delta l^2$, d'où $\ \Delta l' < \Delta l$. Il y a contraction de (la mesure de) la longueur par rapport à la longueur propre de l'objet.

Un paradoxe apparent

Supposons que dans chaque référentiel on dispose d'un mètre (immobile) avec lequel on mesure la longueur du mètre immobile dans l'autre référentiel et orienté dans la direction de la vitesse relative.

Suivant la conclusion des paragraphes précédents, dans chaque référentiel on doit voir le mètre de l'autre référentiel plus petit que celui qui est immobile. Est-ce un paradoxe ? Non.

Prenons le cas où la mesure est faite depuis $\mathbb R'$. Pour pouvoir être mesuré, les déterminations des coordonnées des extrémités du mètre de $\mathbb R$ sont simultanées dans le référentiel $\mathbb R'$, mais, d'après la relativité de la simultanéité, ces déterminations n'apparaissent pas comme simultanées vues depuis $\mathbb R$ où on voit l'observateur de $\mathbb R'$ déterminer les coordonnées des extrémités à des moments différents entre lesquels il a bougé par rapport à ce mètre (qui lui est toujours immobile dans $\mathbb R$). Ainsi, la mesure faite dans $\mathbb R'$ n'apparait pas comme correctement faite quand elle est vue depuis $\mathbb R$ : dans chaque référentiel est fait correctement une mesure ... quand elle est vue depuis ce référentiel, mais elle n'est pas jugée comme correctement faite quand elle est vue d'un autre^[1].

Cas des longueurs perpendiculaires à la vitesse

Les longueurs perpendiculaires à la direction du mouvement ont la même mesure dans les deux référentiels.

Pour s'en convaincre, il suffit d'imaginer une porte coulissante, entre des rails supérieurs et inférieurs, immobile dans un référentiel et que l'on accélère dans ce même référentiel (les rails du coulissement sont très très longs) : les rails supérieurs et inférieur sont immobiles et sont toujours à la même distance, et la porte, animée d'une vitesse peut-être très grande, ne sort pas de ses rails du simple fait qu'elle les suit. La hauteur de la porte, longueur perpendiculaire à la vitesse, reste égale à la distance entre les rails supérieurs et inférieurs, donc ne diminue pas dans le référentiel où on la voit passer, par rapport au moment où elle était immobile.

Contraction des volumes

La translation d'un volume par rapport à un référentiel inertiel implique que la dimension de ce volume ayant la même direction que le mouvement est contractée d'un facteur $\ \gamma^{-1}$, si la mesure est faite dans le dit référentiel et par rapport à une mesure faite sur le volume au repos. Les mesures des dimensions perpendiculaires au mouvement ne sont pas contractées. Par produit entre ces différentes mesures, cela implique que les volumes sont aussi contractées du même facteur γ ^{− 1}.

En relativité générale

Un cercle en rotation

Ayant élaboré le principe d'équivalence qui permet de comprendre qu'une accélération et la gravitation sont localement indicernables, Einstein a montré que la gravitation impliquait une contraction des mesures à l'aide de l'expérience par la pensée suivante :

Imaginons dans un référentiel inertiel K dans lequel un cercle est mis en rotation à vitesse angulaire constante autour de son centre, auquel est lié un référentiel en rotation K', donc non-inertiel. Un observateur sur le bord de ce cercle, et entrainé avec lui, subit une force centrifuge constante, qui, étant une accélération, est parfaitement assimilable à une force gravitationnelle constante dirigée vers l'extérieur du cercle.

Supposons qu'un observateur dans le référentiel tournant mesure un petit élément du périmètre non tournant. Si on ne connait que la relativité restreinte, on ne sait rien des mesures que doit constater l'observateur tournant (son référentiel n'étant pas inertiel), par contre on sait ce que doit observer l'observateur inertiel : celui-ci observe que l'unité de mesure utilisée par l'observateur tournant est contractée car supposée petite par rapport au périmètre du cercle et donc quasi-parallèle à la vitesse qui est tangente au cercle. Donc l'observateur tournant doit constater que la mesure du périmètre immobile est supérieure à celle faite quand son référentiel ne tournait pas. Ainsi, la gravitation (ou tout phénomène équivalent) donne une contraction des mesures de longueurs par rapport aux mesures faites dans les référentiels inertiels.

Cette expérience par la pensée permet d'obtenir plus d'informations :

Si l'observateur tournant mesure un petit élément du rayon du cercle, il constatera que cette mesure est égale à celle du cercle immobile : cet élément du rayon est une longueur perpendiculaire à la direction du mouvement, qui est tangente au cercle, donc l'observateur inertiel n'y verra aucune contraction de l'unité de mesure quand elle lui est alignée. A priori, en tournant sur lui-même, le cercle reste un cercle. Pourtant, par les mesures faites qu'il a faites, l'observateur tournant a $~~p>2\pi r$ : à ses yeux, le cercle en rotation ne vérifie pas $~~ p=2\pi r$, propriété qui est toujours vraie dans le cadre d'un espace euclidien. Ainsi, la gravitation (ou tout phénomène équivalent) oblige l'observateur qui la subit à utiliser un espace non euclidien, un espace courbé.

On remarquera qu'à partir d'un certain rayon, le bord du cercle est supposé aller à la vitesse de la lumière, ou même à une vitesse supérieure : ces résultats soulignent l'impossibilité matérielle de réaliser des référentiels tournant ayant de grandes dimensions^[2].

Dans cette expérience par la pensée, il faut se garder de voir autre chose que des indices de la théorie relativiste de la gravitation : la force centrifuge est assimilable que localement à une force gravitationnelle, qui d'ailleurs est particulière du fait, par exemple, que seules sont contractées les longueurs parallèles à la vitesse de rotation et pas celles qui sont perpendiculaires au plan du cercle.

Considérations générales

En relativité générale, la présence d'un champ de gravitation est une déformation de l'espace-temps et ce qui concrètement s'approche le plus de la ligne droite est une géodésique de rayon lumineux qui n'est pas droite si on la compare à un référentiel euclidien fictif : ainsi observe-t'on une déviation de la lumière émise par les étoiles lors du passage à proximité de leur trajectoire d'une masse telle que le soleil. À tel point que l'on observe des lentilles gravitationnelles montrant ainsi que dans cette théorie deux lignes droites peuvent partir d'un même point et se croiser plus loin.

Ainsi, toutes les distances et toutes les formes sont-elles modifiées par la présence d'une masse^[3] : par exemple, une règle droite réelle suit en fait une géodésique de rayon lumineux, la distance entre ses extrémités varie aux yeux d'un observateur éloigné du champ de gravitation, sa forme ne lui semble pas correcte pour faire des mesures de distance et est même variable en fonction de sa direction par rapport au champ de gravitation (la déformation de l'espace).

La détection des ondes gravitationnelles se base sur la mesure d'une variation d'une longueur de l'ordre de $10^{-16}\,~%$ lors de leur passage^[4].

Notes et références

1. ↑ James H. Smith, Introduction à la relativité, InterEditions (1968). Réédité par Masson (Dunod - 3^e édition - 1997), au chapitre 4, §4 Le paradoxe des longueurs et la simultanéité.
2. ↑ Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions], Tome 2, §89.
3. ↑ À ce jour, ces modifications dans notre environnement immédiat sont absolument inaccessibles aux expérimentations.
4. ↑ Voir au chapitre VII, p179, de Relativité générale et gravitation par Edgard Elbaz, édité chez ellipse en 1986, ISBN 2-7298-8651-6.

Voir aussi

Bibliographie

• Introduction à la relativité par James H. Smith, 1965, réédité en 1997 chez Masson, ISBN 2-225-82985-3, traduit par Philippe Brenier, préfacé par Jean-Marc Lévy-Leblond.
• Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions], Tome 2.

Articles connexes

• Géométrie de l'espace-temps dans les repères tournants
• Dilatation du temps