Convergence faible

Topologie faible

En mathématiques, la topologie faible d'un espace vectoriel topologique E est une topologie définie sur E au moyen de son dual topologique E' . On définit également sur E' une topologie dite faible-* au moyen de E.

Topologie affaiblie d'un espace normé

Définition

Soient E un espace vectoriel normé (réel ou complexe), ou plus généralement un espace vectoriel topologique, et soit E' son dual topologique, c’est-à-dire l'ensemble des formes linéaires continues sur E. Supposons que le dual E' de E sépare les points de E (i.e $\forall x\not= 0:\, \exists \varphi \in E', \varphi(x)\not= 0$ )- on peut montrer que cette condition est vérifiée si E est localement convexe. On appelle alors topologie faible sur E la topologie la moins fine gardant continus les éléments de E'. Elle est engendrée par les ouverts de la forme $\varphi^{-1}(U)$, où $\varphi$ est un élément de E' et U un ouvert du corps des scalaires.

En particulier, une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ d'éléments de E converge faiblement vers un élément u de E lorsque :

$\forall \varphi \in E',\quad \lim_{n\rightarrow+\infty}\langle\varphi,u_n\rangle=\langle\varphi,u\rangle$

Par opposition, la topologie initiale de E s'appelle topologie forte.

Exemple

Soit E l'espace des suites réelles x = (x_n) de limite nulle, muni de la norme $\| x\| = \sup\{ \left| x_n \right|, n \in \mathbb N\}$. Un élément $\varphi$ de E' peut être représenté par une suite réelle $(\varphi_n)$ telle que la série $\sum \varphi_n$ soit absolument convergente. On a alors :

$\langle\varphi,x\rangle = \sum_{n=0}^\infty \varphi_n x_n$

.

Pour n entier, soit e_n l'élément de E consistant en une suite de réels tous nuls sauf le n-ème terme qui vaut 1. Alors $(e_n)_{n \in \mathbb N}$ constitue une suite de E qui converge faiblement vers 0 mais pas fortement.

Propriétés élémentaires

• La convergence forte dans E implique la convergence faible. Par exemple, si E est normé : $|\langle\varphi,u_n\rangle-\langle\varphi,u\rangle|\leq \|\varphi\|_{E'}\|u_n-u\|_{E}$

• Le dual de E pour la topologie faible est le même que le dual de E pour la topologie forte.

• La norme de la limite faible d'une suite (u_n)_n dans E est inférieure à la limite inférieure des normes de u_n. Ce résultat utilise le théorème de Hahn-Banach.

• Le théorème de Hahn-Banach est également utilisé pour montrer que les sous-espaces vectoriels fermés de E sont les mêmes pour les deux topologies. Il en est de même plus généralement des parties fermées convexes.

Continuité des opérateurs et topologie faible

Théorème — Soit E et F des espaces de Banach et T un opérateur linéaire fortement continu de E dans F. Alors T reste continu lorsque l'on munit E et F de leur topologie faible.

La réciproque est fausse. Un opérateur peut être continu pour les topologies faibles de E et F sans être continu pour les topologies fortes.

Topologie faible-* du dual

Définition

Il existe sur le dual E' au moins trois topologies.

• La topologie forte, définie par la famille de semi-norme $\| \varphi \|_B = \sup \{ \left| \langle\varphi,x\rangle \right|, x \in B\}$ où B désigne une partie bornée quelconque de E. C'est la topologie de la convergence uniforme sur les parties bornées de E. Cette topologie permet de définir le dual E'' de E' ou bidual de E. C'est l'espace vectoriel des formes linéaires continues sur E'.

• La topologie faible de E' définie par les éléments de E'' (au même titre que la topologie faible de E est définie à partir des éléments de E').

• Comme E s'identifie à un sous-espace vectoriel de son bidual E'', on définit une topologie sur E', a priori encore plus faible que la topologie faible et appelée topologie faible-*, par la donnée des semi-normes $\| \varphi \|_A = \sup \{ \left| \langle\varphi,x\rangle \right|, x \in A\}$ où A désigne une partie finie quelconque de E. En particulier, une suite $(\varphi_n)_{n\in \mathbb{N}}$ d'éléments de E' converge pour la topologie faible-* vers un élément $\varphi$ de E' lorsque:

$\forall x \in E,\quad \lim_{n\rightarrow+\infty}\langle\varphi_n,x\rangle=\langle\varphi,x\rangle$

Les trois topologies, forte, faible et faible-* sont en général distinctes. Dans le cas d'un espace de Banach réflexif (identifiable à son bidual), les topologies faible et faible-* sont égales.

Exemple

Soit E l'espace $c_0(\mathbb R)$ des suites réelles x = (x_n) de limite nulle, muni de la norme $\| x\|_\infty = \sup\{ \left| x_n \right|, n \in \mathbb N\}$.

Son dual E' est l'espace $l^1(\mathbb R)$ des suites $\varphi = (\varphi_n)$ telle que la série $\sum \varphi_n$ soit absolument convergente, muni de la norme $\| \varphi \|_1 = \sum_{n=0}^\infty \left| \varphi_n \right|$.

Le bidual E'' est l'espace $l^\infty(\mathbb R)$ des suites réelles bornées u = (u_n) muni de la norme $\| u\|_\infty = \sup\{ \left| u_n \right|, n \in \mathbb N\}$.

On a $\langle\varphi,x\rangle = \sum_{n=0}^\infty \varphi_n x_n$ et $\langle u, \varphi\rangle = \sum_{n=0}^\infty \varphi_n u_n$.

Considérons dans E' l'élément e_n dont les n-premiers termes valent $\frac{1}{n}$ et dont tous les autres sont nuls. Ces éléments forment une suite dans E' qui ne converge pas vers 0 pour la topologie forte puisque $\| e_n \|_1 = 1$. Elle ne converge pas non plus vers 0 pour la topologie faible de E', puisque, si l'on prend l'élément u de E'' égale à la suite constante 1, alors $\langle u, e_n \rangle = 1$. Mais elle converge vers 0 pour la topologie faible-* puisque, si l'on prend un élément x quelconque de E (donc une suite de limite nulle), alors $\langle e_n ,x\rangle = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^n x_k$, qui converge bien vers 0 d'après le théorème de Cesàro.

Propriétés

• Le dual topologique de E' muni de la topologie faible-* n'est autre que E lui-même.

• Soient E et F deux espaces munis de leur topologie faible, et soient F' et E' munis de leur topologie faible-*. Alors la transposée établit une bijection entre l'espace vectoriel des applications faiblement continues de E dans F, et l'espace vectoriel des applications faiblement-* continues de F' dans E'.

Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki

Le théorème suivant, qui permet parfois de pallier l'absence de compacité pour la topologie forte dans les espaces de Banach de dimension infinie est la principale justification de la définition de la topologie faible-* :

Théorème — Soit E un espace normé. Alors la boule unité fermée de E' est compacte pour la topologie faible-*.

En particulier, si E est séparable, alors la boule unité du dual est séquentiellement compacte pour la topologie faible-*. En d'autres termes, toute suite (u_n)_n bornée de E' admet une sous-suite convergente pour la topologie faible-*.

Ce théorème permet d'en déduire une caractérisation des espaces normés réflexifs (égaux à leur biduaux). Un tel espace est nécessairement un espace de Banach.

Théorème — Soit E un espace normé. Alors E est réflexif si et seulement si sa boule unité fermée est compacte pour la topologie faible.

À extraction près, une suite bornée d'un espace de Banach reflexif converge toujours faiblement (mais pas forcément fortement). Il existe de nombreuses méthodes récentes, développées notamment pour leurs applications dans le cadre de la théorie des équations aux dérivées partielles pour étudier le défaut de compacité d'une telle suite, en particulier dans les espaces de Hilbert (principe de concentration compacité de Pierre-Louis Lions, de mesure de défaut micro-locale de Patrick Gérard et Luc Tartar).

Convergence faible et espaces de Hilbert

Par le théorème de représentation de Riesz la définition de la convergence faible d'une suite (u_n)_n sur un espace de Hilbert H s'écrit:

$\forall v\in H,\quad \lim_{n\rightarrow\infty} \langle u_n,v\rangle=\langle u,v\rangle$

Ici $\langle u,v\rangle$ désigne le produit scalaire sur H.

L'espace H est réflexif donc d'après le théorème de Banach-Alaoglu, un borné pour la topologie forte qui est fermé pour la topologie faible est compacte pour la topologie faible. Ainsi, dans un espace de Hilbert toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente.

Mentionnons cette caractérisation élémentaire mais intéressante de la convergence forte dans un espace de Hilbert.

Proposition —  Soit (u_n)_n une suite d'éléments de H convergeant faiblement vers un élément u de H. Alors cette convergence est forte si et seulement si :

$\text{(1)} \qquad \lim_{n\rightarrow +\infty} \|u_n\|_H=\|u\|$

Démonstration

La condition (1) est évidemment nécessaire.

Supposons (1). Alors:

$\|u_n-u\|^2=\|u_n\|^2+\|u\|^2-2{\rm Re}\langle u_n,u\rangle$

Par convergence faible de (u_n)_n:

$\lim_{n\rightarrow +\infty} 2{\rm Re}\langle u_n,u\rangle=2\|u\|^2$

et donc par (1) (u_n)_n tend vers u dans H.

Bibliographie

• Laurent Schwartz, Topologie générale et analyse fonctionnelle, Hermann, 1970

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