Copule (mathématiques)

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En statistiques, une copule est un objet mathématique venant de la théorie des probabilités. La copule permet de caractériser la dépendance entre les différentes coordonnées d'une variable aléatoire à valeurs dans $\R^d$ sans se préoccuper de ses lois marginales.

Aspects probabilistes des copules

Une copule est une fonction de répartition, notée $\mathcal{}C$, définie sur $\mathcal{}[0,1]^d$ dont les marges sont uniformes sur $\mathcal{}[0,1]$. Une caractérisation est alors que $\mathcal{}C(u_1,...,u_d)=0$ si une des composantes $\mathcal{}u_i$ est nulle, $\mathcal{}C(1,...,1,u_i,1,...,1)=u_i$, et $\mathcal{}C$ est $\mathcal{}d$- croissante.

En dimension 2, $\mathcal{}C(0,v)=C(u,0)=0$ pour tout $\mathcal{}u$ et $\mathcal{}v$, $\mathcal{}C(u,1)=u$ et $\mathcal{}C(1,v)=v$, pour tout $\mathcal{}u$ et $\mathcal{}v$, et enfin, la propriété de 2 croissante se traduit par $\mathcal{}C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq0$.

L'interprétation de cette notion de croissance se fait en notant que si $\mathcal{}(U,V)$ admet pour fonction de répartition $\mathcal{}C$, $\mathcal{}\Pr(u_1<U<u_2,v_1<V<v_2)=C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq0$, la mesure $\mathcal{}\Pr$ étant nécessairement positive.

Le théorème de Sklar dit que si $\mathcal{}C$ est une copule, et si $\mathcal{}F_1,...,F_d$ sont des fonctions de répartition (univariées), alors $\mathcal{}F(x_1,...,x_d)=C(F_1(x_1),...,F_d(x_d))$ est une fonction de répartition de dimension $\mathcal{}d$, dont les marges sont précisément $\mathcal{}F_1,...,F_d$.

Et réciproquement, si $\mathcal{}F$ est une fonction de répartition en dimension $\mathcal{}d$, il existe une copule $\mathcal{}C$ telle que $\mathcal{}F(x_1,...,x_d)=C(F_1(x_1),...,F_d(x_d))$, où les $\mathcal{}F_i$ sont les lois marginales de $\mathcal{}F$.

Si ces lois marginales sont toutes continues, la copule $\mathcal{}C$ est alors unique, et donnée par la relation $\mathcal{}C(u_1,...,u_d)=F(F_1^{-1} (u_1),...,F_d^{-1} (u_d))$. Dans ce cas, on pourra alors parler de la copule associée à un vecteur aléatoire $\mathcal{}(X_1,...,X_d)$.

La copule d'un vecteur aléatoire $\mathcal{}(X_1,...,X_d)$ est alors la fonction de répartition du vecteur aléatoire $\mathcal{}(F_1(X_1),...,F_d(X_d))$, que l'on notera parfois $\mathcal{}(U_1,...,U_d)$.

Quelques copules classiques

Parmi les copules usuelles, la copule produit $\mathcal{}\Pi(u_1,...,u_d)=u_1...u_d$ (on parlera aussi de copule indépendante). $\mathcal{}(X_1,...,X_d)$ a des composantes indépendantes si et seulement si $\mathcal{}\Pi$ est une copule du vecteur $\mathcal{}(X_1,...,X_d)$.

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  Copule indépendante

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  Copule indépendante

La copule comonotone, ou copule du minimum, est définie par $\mathcal{}M(u_1,...,u_d)=min\{u_1,....,u_d\}$. $\mathcal{}M$ est une copule du vecteur $\mathcal{}(X_1,...,X_d)$ si et seulement s'il existe des transformations croissantes $\mathcal{}g_{i,j}$ telles que $\mathcal{}X_i=g_{i,j}(X_j)$. Cette copule correspond à la borne supérieur de Fréchet-Hoeffding, au sens où pour toute copule $\mathcal{}C$, $C(u_1,...,u_d)\leq M(u_1,...,u_d)$.

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  Copule comonotone

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  Copule comonotone

Une classe particulièrement importante de copule est celle des copules Archimédiennes, définies par $\mathcal{}C(u_1,...,u_d)=\phi^{-1}(\phi(u_1)+...+\phi(u_d))$, où $\mathcal{}\phi$ (appelé générateur de la copule Archimédienne) est au moins $\mathcal{}d-2$ fois continument dérivable, dont la dérivé $\mathcal{}d-2$ est décroissante convexe, et telle que $\mathcal{}\phi(1)=0$.

Ce générateur est unique à une constante (positive) multplicative près. Une sous classe relativement large est obtenue lorsque $\mathcal{}\phi$ est l'inverse d'une transformée de Laplace (et une interprétation factorielle est alors possible). Parmi les cas particuliers,

• la copule indépendante obtenue lorsque $\mathcal{} \phi(t) = -\log(t)$,

• la copule de Clayton obtenue lorsque $\mathcal{} \phi(t) = \frac{t^{-\alpha}-1}{\alpha}$, avec $\mathcal{}\alpha\geq -1$. Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi Gamma. Cette copule est la seule copule Archimédienne invariante par troncature,

• la copule de Gumbel obtenue lorsque $\mathcal{} \phi(t) = (-\log(t)) ^\alpha$, avec $\mathcal{}\alpha\geq 0$.

Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi stable. Cette copule est la seule copule Archimédienne vérifiant une propriété de max-stabilité, c’est-à-dire $\mathcal{}C(u^n_1,...,u^n_d)=C^n(u_1,...,u_d)$, pour tout $\mathcal{}n\geq 1$,

• la copule de Frank obtenue lorsque $\mathcal{} \phi(t) = -\log\frac{e^{-\alpha t}-1 }{e^{-\alpha }-1 }$. Cette copule est la seule qui soit symétrique dans la queue inférieure et supérieure,

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  Copule de Frank

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  Copule de Clayton

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  Copule de Gumbel

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  Copule de Frank

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  Copule de Clayton

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  Copule de Gumbel

Les copules elliptiques...

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  Copule Gaussienne

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  Copule de Student (t)

Aspects statistiques

D'un point de vue statistique, les copules apparaissent naturelles comme la distribution des rangs.

Les copules apparaissent dans les espaces métriques de probabilité ou en logique floue (fuzzy logic).

Liens externes

• Schölzel and Friederichs (2008): "Copulas in climate research"