Corps Des Fractions

Corps des fractions

En théorie des anneaux, le corps des fractions d'un anneau commutatif intègre (non nul) A est le plus petit corps (à isomorphisme près) contenant A.

Sa construction est une généralisation à un anneau de la construction du corps des rationnels à partir de l'anneau des entiers relatifs. Appliqué à l'anneau des polynômes formels, il permet la construction de son corps des fractions rationnelles

Cette construction se généralise encore avec le procédé de localisation.

Construction

On définit sur E = A × A\{0} deux lois internes et une relation d'équivalence compatible avec ces deux lois :

• une pseudo-addition : pour tout (a , b) et (c , d) de E , (a , b) + (c , d) = (ad + cb , bd)
• une pseudo-multiplication : pour tout (a , b) et (c , d) de E, (a , b) . (c , d) = (ac , bd)

L'existence de ces deux lois est fortement subordonnée au fait que l'anneau soit intègre car il faut pouvoir que le produit bd soit non nul. Ces deux lois de composition interne sont bien définies, commutatives (d'après la commutativité du produit sur A) et associatives. Elles ne possèdent un neutre que si l'anneau est unitaire (il s'agit dans ce cas de (0, 1) pour la première et (1, 1) pour la seconde) et même dans ce cas, si l'anneau n'est pas déjà un corps, il existe des éléments sans inverse pour aucune des deux lois construites sur E. Enfin, il n'y a pas de distributivité de la seconde loi sur la première.

La relation ~ définie par (a , b) ~ (c , d) ssi ad = bc est bien symétrique, réflexive et transitive par hypothèse d'intégrité. Elle est de plus compatible avec les deux lois, c'est-à-dire que la classe du résultat de la pseudo-multiplication (ou de la pseudo-addition) ne dépend que des classes des opérandes. Autrement dit, les lois de composition peuvent être appliquées aux classes d'équivalence sans tenir compte du choix du représentant.

La classe d'un couple (a , b) se note usuellement $\frac{a}{b}$ et est appelée fraction.

L'ensemble quotient, noté K(A) et muni des lois de composition induites (addition et multiplication), possède alors les propriétés suivantes (on fixe un élément non nul quelconque x de A) :

• simplification de fraction : pour tout c non nul, $\frac{ca}{cb}=\frac{a}{b}$ ;
• commutativité et associativité des lois induites ;
• existence d'un neutre $\frac{0}{x}$ pour la première loi

$\frac ab + \frac 0x = \frac{ax}{bx} = \frac ab$

• existence d'une unité $\frac{x}{x}$ neutre pour la seconde ;

$\frac ab \times \frac cc = \frac{ac}{bc} = \frac ab$

• existence d'un opposé $\frac{-a}{b}$ pour tout élément $\frac{a}{b}$ ;

$\frac{a}{b} + \frac{-a}{b} = \frac{0}{b^2}$

• existence d'un inverse $\frac{b}{a}$ pour tout élément non nul $\frac{a}{b}$ ;

$\frac{a}{b}\times \frac{b}{a}= \frac{ab}{ab}$

• distributivité de la multiplication sur l'addition :

$\frac{a}{b}\frac{e}{f} + \frac{c}{d}\frac{e}{f}=\frac{aedf + cebf}{bfdf} = \frac{(ad + cb)e}{bdf}$

$\frac{a}{b}\frac{e}{f} + \frac{c}{d}\frac{e}{f}=(\frac{a}{b}+ \frac{c}{d})\frac{e}{f}$

La structure ainsi définie constitue donc un corps commutatif.

Injection

Si l'anneau A est unitaire, l'application i de A dans K(A) qui, à l'élément a, associe $\frac{a}{1}$ est un morphisme injectif qui plonge l'anneau A dans son corps de fractions.

Si l'anneau A n'est pas unitaire, on choisit un élément e non nul de A. L'application i de A dans K(A) qui, à l'élément a associe $\frac{ae}{e}$ est un morphisme injectif qui plonge l'anneau A dans son corps de fractions. Cette application ne dépend pas de l'élément e non nul choisi.

Propriété universelle

Pour tout corps L et tout homomorphisme injectif $f \,$de A dans L, il existe un unique homomorphisme $\tilde f$ de K(A) dans L tel que $f = \tilde f \circ i$

La seule façon de créer $\tilde f$ est de définir $\tilde f \left(\frac{a}{b}\right)$ par $\tilde f \left(\frac{ae}{e}\right).\tilde f \left(\frac{be}{e}\right)^{-1} = \frac{f(a)}{f(b)}$, où e est un élément non nul fixé de A. Il suffit ensuite de prouver que cette construction est indépendante du représentant choisi et que $\tilde f$ est bien un morphisme injectif.

Unicité

Il est évident d'après la propriété universelle, que K(A) est le plus petit corps contenant A. En effet, si L est un autre corps contenant A, il existe un morphisme injectif de A dans L donc un morphisme injectif de K(A) dans L.

Voir aussi

• Localisation
• Cours de mathématiques-(tome I) Jacqueline-Lelong Ferrand et Jean-Marie Arnaudies. Editions Bordas

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