Courbe Tracée Sur Une Surface

Courbe tracée sur une surface

Une courbe tracée sur une surface $Σ$ est une application différentiable $c:I\rightarrow R^3$ d'image $c (I)$ contenue dans $Σ$ .

Exemples remarquables

Sur la sphère unité de $R 3$ , un grand cercle est la trace sur $S 2$ d'un plan vectoriel. C'est la courbe tracée sur $S 2$ donnée par :

$c:\theta\mapsto \cos \theta V+\sin \theta W$

où V et W sont deux vecteurs unitaires orthogonaux.

Sur une surface $Σ$ , une géodésique est une courbe c tracée sur une surface dont l'accélération $c''(t)$ est orthogonal à $Σ$ . Les grands cercles sur les sphères sont des géodésiques. Ce sont les seules.

A Paques, les artistes dessinnent sur des œufs. Les motifs dorés sont des courbes tracées sur la coquille.

Plus généralement, les dessins sur les objets consistent en des remplissages de domaines délimités par des courbes tracées sur la surface de l'objet !

Propriétés métriques

L'utilisation de courbes tracées sur une surface X permet de faire le lien entre courbure d'une courbe et seconde forme fondamentale II de X, objet mathématique permettant le calcul des courbures principales de X.

Si c est une courbe tracée sur la surface, et $P = c (0)$ , $v = c'(0)$ , alors $I I P (v)$ est la composante normale à X de l'accélération $c''(0)$ :

I I P (v) = < c''(0) | ν(P) >

Démonstrations

Introduisons

v (t)

le projeté orthogonal de

c (t) - P

sur le plan, vectoriel

T P X

. Localement, X est le graphe d'une fonction f définie sur le plan tangent

T P M

. Pour t proche de 0, il vient :

$c(t)=P+v(t)+f(v(t))\nu(P)=P+tV+\frac{t^2}{2}c''(0)+o(t^2)$

Notons

w

le projeté de

c''(0)

. Par projection, on obtient :

$v(t)=tV+\frac{t^2}{2}w+o(t^2)$

Or, par définition de la seconde forme fondamentale,

I I P

est équivalente à f à l'ordre 2. De fait, il vient :

$f\left[c(t)\right]=t^2.II_P(v)$

De fait, on écrit :

$c(t)=P+tv+\frac{t^2}{2}.\left[w+II_P(v)\nu(P)\right]+o(t^2) =P+tV+\frac{t^2}{2}c''(0)+o(t^2)$

D'où le résultat annoncé.

Voir aussi

repère de Darboux

Ce document provient de « Courbe trac%C3%A9e sur une surface ».

Catégorie : Géométrie différentielle classique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Courbe Tracée Sur Une Surface de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

Courbe tracee sur une surface — Courbe tracée sur une surface Une courbe tracée sur une surface Σ est une application différentiable d image c(I) contenue dans Σ. Exemples remarquables Sur la sphère unité de R3, un grand cercle est la trace sur S … Wikipédia en Français
Courbe tracée sur une surface — Une courbe tracée sur une surface Σ est une application différentiable d image c(I) contenue dans Σ. Exemples remarquables Sur la sphère unité de R3, un grand cercle est la trace sur S2 … Wikipédia en Français
Surface (homoymie) — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. la surface est un espace géométrique, Voir aussi catégorie:surface (en géométrie) Lexique des surfaces Microsoft Surface : une table tactile. grande… … Wikipédia en Français
Surface (géométrie) — Pour les articles homonymes, voir Surface. Ne pas confondre avec la notion d aire ou de superficie. En mathématiques, une surface est un ensemble de points sur lequel il est localement possible de se repérer à l aide de deux coordonnées… … Wikipédia en Français
Surface d'egale pente — Surface d égale pente Dans la famille des surfaces paramétrées et orientées de R3, une surface d égale pente α s appuyant sur une courbe plane c tracée sur le plan horizontal {z = 0} est l enveloppe des plans tangents à la courbe c dont la… … Wikipédia en Français
Surface réglée standard — En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, une surface réglée standard est une variété algébrique, qui propose un modèle simple de surface réglée. On obtient ainsi une classification de toutes les surfaces réglées à… … Wikipédia en Français
Surface d'égale pente — Dans la famille des surfaces paramétrées et orientées de R3, une surface d égale pente α s appuyant sur une courbe plane c tracée sur le plan horizontal {z = 0} est l enveloppe des plans tangents à la courbe c dont la normale fait un angle α avec … Wikipédia en Français
Courbe paramétrée — Lexique des arcs paramétrés On trouvera une introduction de la notion d arc paramétré dans l article paramétrage. L étude des courbes est une préoccupation très ancienne, leur description à l aide de coordonnées remontant à Descartes. Il existe… … Wikipédia en Français
courbe — [ kurb ] adj. et n. f. • 1699; corbe mil. XIIIe; lat. curvus 1 ♦ Adj. Qui change de direction sans former d angles; qui n est pas droit. ⇒ arqué, arrondi, bombé, busqué, cambré, cintré, circulaire, contourné, courbé, enroulé, galbé, incurvé,… … Encyclopédie Universelle
courbé — courbe [ kurb ] adj. et n. f. • 1699; corbe mil. XIIIe; lat. curvus 1 ♦ Adj. Qui change de direction sans former d angles; qui n est pas droit. ⇒ arqué, arrondi, bombé, busqué, cambré, cintré, circulaire, contourné, courbé, enroulé, galbé,… … Encyclopédie Universelle

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Courbe Tracée Sur Une Surface