Critère de Cauchy

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En mathématiques et en topologie, le critère de Cauchy, ainsi nommé en l’honneur du mathématicien français Augustin Louis Cauchy, est une condition se rapportant à la convergence des suites dans un espace métrique.

Une suite vérifiant ce critère est appelée suite de Cauchy.

Lorsque l’espace est complet, le critère de Cauchy est équivalent à la convergence.

Ce critère est parfois confondu avec la « règle de Cauchy » qui est une autre condition relative à la convergence des séries dans un espace de Banach.

Énoncé

Article détaillé : Suite de Cauchy.

Une suite $(s_n)\,$ dans un espace métrique satisfait le critère de Cauchy ($\Leftrightarrow$ est une suite de Cauchy) si et seulement si

$\lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{p,q>n}d(s_p,s_q)=0.$

Le critère de Cauchy est lié aux deux assertions suivantes :

1. Dans un espace métrique, une suite convergente est nécessairement de Cauchy.
2. Dans un espace métrique complet, toute suite de Cauchy est convergente.

Espaces particuliers

L’équivalence est vraie dans $\R$ (où la distance est la valeur absolue), dans $\Complex$ (où la distance est le module), dans $\R^n$ et dans $\Complex^n$ où la distance découle de n’importe quelle norme, ou dans un espace de Banach : tous ces espaces sont métriques et complets.

Par contre, dans le $\mathbb{Q}$-espace vectoriel normé $\mathbb{Q}^n$ muni de la distance associée à la norme euclidienne, seule la première assertion est vraie car cet espace n'est pas complet. Cependant, toute suite de Cauchy convergera tout de même, mais sa limite appartiendra à $\R^n$, sans être nécessairement dans $\mathbb{Q}^n$.

Preuve

Première assertion :

Si une suite $(s_n)\,$ converge vers $s\,$, alors pour tout réel $\epsilon > 0$, il existe un entier m tel que $d(s_n,s) < \epsilon\$ pour tout entier n > m. Par inégalité triangulaire de la distance $d(s_p,s_q) \leqslant d(s_p,s) + d(s_q,s) < 2 \ \epsilon$ pour tout $p, \ q > m$. La suite est donc de Cauchy.

Seconde assertion :

C’est le fondement de la définition d’espace complet.

Voir aussi

• Suite de Cauchy
• Espace complet
• Construction des nombres réels