Decouplage (automatique)

Découplage (automatique)

Le but du découplage est de transformer les fonctions de transfert ou les représentations d'états multivariables pour pouvoir commander chaque sortie indépendamment des autres.

Soit le système : $\dot X = A \cdot X + B \cdot U$ et $Y = C \cdot X$ avec dim x = m; dim u = p; dim y = p

d'où : $Y = F(s) \cdot U(s)$ avec F(s) = C(sI − A) ^{− 1}B

F est appelé matrice de transfert carré.

Approche Fonction de transfert

En boucle fermé: Y(s) = [I.p + F(s).C(s)] ^{− 1}F(s)C(s)Yd(s) avec Yd la consigne

Le découplage consiste à diagonaliser le fonction de transfert en boucle fermé (FTBF).

FTBF = [I.p + F(s).C(s)] ^{− 1}F(s)C(s)

Donc le correcteur C(s) doit vérifier: [Ip + F(s)C(s)] ^{− 1}F(s)C(s) = Ω(s) avec Ω(s) = matrice diagonale de λ₁(s)...λ_n(s)

On a donc : C(s) = F(s) ^{− 1}Ω(s)[I − Ω(s)] ^{− 1}

Approche représentation d'état

Soit le système : $\dot X = A \cdot X + B \cdot U$ et $Y = C \cdot X$

on a $y = \begin{bmatrix}y_1\\\vdots\\y_p\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}C_1^T\\\vdots\\C_p^T\end{bmatrix}X$

Pour y₁ : $y_1 = C_1^T.x$

$\dot y_1 = C_1^T.\dot x = C_1^T(Ax+Bu) = C_1^T.A.x + C_1^T.B.u$

Si $C_1^T.B = 0$ alors $\dot y_1 = C_1^T.A.x$

d'ou : $\ddot y_1 = C_1^T.A.x = C_1^T.A(Ax+Bu) = C_1^T.A^2x + C_1^TABu$

Si $C_1^T.A.B = 0$ alors $\ddot y_1 = C_1^T.A^2.x$

...

soit j le plus petit entier tel que $C_1^TA^jB \not= 0$

alors $y_1^{(j+1)}(t)=C_1^TA^{j+1}x+C_1^TA^jBu$

De meme pour les autres sorties : $y_i^{(d_i+1)}(t)=C_i^TA^{d_i+1}x+C_i^TA^{d_i}Bu$

On obtient $\begin{bmatrix}y_1^{d_1+1}\\\vdots\\y_p^{d_p+1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}C_1^TA^{d_1+1}\\\vdots\\C_p^TA^{d_p+1}\end{bmatrix}x + \begin{bmatrix}C_1^TA^{d_1}B\\\vdots\\C_p^TA^{d_p}B\end{bmatrix}u = v$

Y = Fx + Lu = v

on trouve donc u = L ^{− 1}[v − Fx]

Le système est découplale ssi L est inversible.

Le système découplé est donc transformé en sous-systèmes : $\frac{Y_i(s)}{V_i(s)}=\frac 1{s^{d_i+1}}$ On aboutit à des intégrateurs.

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