Densite spectrale de puissance

Densité spectrale de puissance

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On définit la densité spectrale de puissance (DSP en abrégé, Power Spectral Density ou PSD en anglais) comme étant le carré du module de la transformée de Fourier, divisée par le temps d'intégration T (ou, plus rigoureusement, la limite quand T tend vers l'infini de l'espérance mathématique de la transformée de Fourier du signal). Ainsi, si x est un signal et X sa transformée de Fourier, la densité spectrale de puissance vaut Γ_x = 1 / T | X | ².

Pour de plus amples détails sur la densité spectrale de puissance et la densité spectrale d'énergie (ou l'on ne divise pas par le temps d'intégration et qui n'existe que pour les signaux de carré sommable), voir l'article densité spectrale.

Densité spectrale de puissance et autocorrélation

La définition de la fonction d'autocorrélation temporelle d’un signal x à temps continu est  :

$\gamma(\tau)=\lim_{T \to \infty} 1/2T \int_{-T}^{+T}x^{*}(t)x(t+\tau) \, dt$

où ^* est la conjugaison complexe.

Prise au point τ, cette fonction mesure en quelque sorte la manière dont les structures que l'on peut voir dans un signal se répètent sur des échelles de temps de l’ordre de τ.

Les propriétés de la transformée de Fourier impliquent que la densité spectrale est la transformée de Fourier de l'autocorrélation. C'est le Théorème de Wiener–Khintchine :

$\mathcal{F}[\gamma]=\mathcal{F}[x] \times \mathcal{F}[x^*(-)]=X \cdot X^*=\Gamma$

Calcul détaillé

Calculons sa transformée de Fourier Γ(ω) :

$\Gamma(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x^*(t)x(t+\tau)e^{-\jmath\omega\tau}\, dt \, d\tau$, '$\jmath$' désignant le nombre complexe de carré égal à -1.

Cette expression peut se mettre sous la forme :

$\Gamma(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}x(t+\tau)e^{-\jmath\omega(t+\tau)}d\tau\right)x^*(t)e^{+\jmath\omega t} \, dt$

On effectue dans l'intégrale centrale le changement de variable u=t+τ et il vient :

$\Gamma(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}x(u)e^{-\jmath\omega u}du\right)x^*(t)e^{+\jmath\omega t} \, dt$

Soit encore :

$\Gamma(\omega)=X(\omega)\int_{-\infty}^{+\infty}x^*(t)e^{+\jmath\omega t} \, dt$

On effectue le changement de variable u=-t et on obtient :

$\Gamma(\omega)=X(\omega)\int_{-\infty}^{+\infty}x^{*}(-u)e^{-\jmath\omega u} \, du$

On reconnaît, dans le deuxième terme, la transformée de Fourier de x^*(-t). Or la transformée de Fourier de x^* vaut X^*(-ν), et la transformée de Fourier de x(-t) vaut X(-ν). Le deuxième terme vaut donc X^*(jω), donc Γ(jω)=X(jω)X^*(jω)=|X(jω)|² : la densité spectrale de puissance est aussi la transformée de Fourier de l'autocorrélation.

Voir Analyse spectrale pour des considérations élémentaires.

Utilisation de la densité spectrale de puissance dans les télécommunications

En télécommunications, on doit souvent traiter des signaux aléatoires. Cependant, on ne peut calculer la transformée de Fourier d’un signal non entièrement connu. En revanche, on peut calculer l’autocorrélation d’un signal aléatoire connu par ses propriétés statistiques. La densité spectrale de puissance est donc, souvent, utilisée en télécommunications.

Considérons, par exemple, le « bruit blanc ». Le bruit est un exemple type de signal aléatoire. La valeur du bruit, à un instant donné, n'est absolument pas corrélée avec la valeur du bruit aux autres instants. Cela se traduit par une fonction d'autocorrélation du bruit égale à une impulsion de Dirac (c'est-à-dire égale à l'infini en 0, et 0 ailleurs). La transformée de Fourier d'une impulsion de Dirac est la constante unité (le module vaut 1 quelle que soit la fréquence). On définit alors, par « bruit blanc », un bruit dont la densité spectrale est constante suivant la fréquence. En télécommunications, on considère souvent les bruits comme étant blancs, tout du moins dans les bandes passantes des systèmes étudiés.

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