Determinant de Slater

Déterminant de Slater

Le déterminant de Slater d'ordre N est un déterminant formé sur N spinorbitales $\phi_{k_i} (\xi)$ distinctes.

$D_K = {1\over\sqrt {N!}}\begin{vmatrix} \phi_{k_1} (\xi_1) & \phi_{k_2} (\xi_1) &\ldots &\phi_{k_N} (\xi_1) \\ \phi_{k_1} (\xi_2) & \phi_{k_2} (\xi_2) &\ldots &\phi_{k_N} (\xi_2) \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ \phi_{k_1} (\xi_N) & \phi_{k_2} (\xi_N) &\ldots &\phi_{k_N} (\xi_N) \\ \end{vmatrix}$

le facteur $1\over\sqrt N!$ est un facteur de normalisation valable si les spinorbitales sont elles-mêmes normées.

Propriétés

• Antisymétrie par rapport à la permutation des coordonnées d'espace et de spin de deux particules :

À la permutation des coordonnées d'espace et de spin de deux particules correspond la permutation des deux lignes correspondantes du déterminant. Les déterminants de Slater satisfont le principe d'antisymétrie, en effet un déterminant change de signe lorsque l'on permute deux lignes ou deux colonnes. Cette propriété est également valable pour une combinaison linéaire de déterminants.

• Invariance pour toute transformation unitaire des spinorbitales :

Les déterminants de Slater formés sur des spinorbitales liées par une transformation unitaire sont égaux. Les spinorbitales sont définies à une transformation unitaire près.

• Action des opérateurs de spin total S_z et S²:

Un déterminant de Slater est toujours fonction propre de S_z

$S_z D_K = \frac{(N_\alpha - N_\beta)\hbar}{2}D_K$

où N_α etN_β désigne les nombres de spinorbitales α et β

Un déterminant de Slater n'est fonction propre de S² que s'il correspond à la composante de haut spin (M_S = S) ou de bas spin (M_S = − S) du multiplet.

Voir aussi

• Méthode de Hartree-Fock

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