Developpement en serie de Engel

Développement en série d'Engel

Construction du développement

Soit $x_0 \in ]0,1]$. On construit le développement de ce nombre de la manière suivante :

$\left\{\begin{matrix} { a_0 = \left[\frac{1}{x_0}\right] + 1} \\ { x_1 = a_0x_0 - 1 } \end{matrix} \right.$ $\left\{\begin{matrix} { a_1 = \left[\frac{1}{x_1}\right] + 1} \\ { x_2 = a_1x_1 - 1 } \end{matrix} \right.\qquad ... \qquad \left\{\begin{matrix} { a_n = \left[\frac{1}{x_n}\right] + 1} \\ { x_{n+1} = a_nx_n - 1 } \end{matrix} \right.$.

Dans ce cas, le nombre x₀ s'écrit de manière unique sous la forme suivante (dite série de Engel) :

$x_0 = \frac{1}{a_0} + \frac{1}{a_0a_1} + \frac{1}{a_0a_1a_2}+ ... + \frac{1}{a_0a_1...a_n} + ...$

où la suite (a_n)_n est une suite croissante d'entiers plus grands que 2.

Propriétés

Soit $x_0 \in ]0,1]$. Alors x₀ est rationnel si, et seulement si, la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de son développement en série d'Engel est constante à partir d'un certain rang.

Exemples

Les nombres $e=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$ (qui donne immédiatement son développement : a_n = n) et $y = \sum_{n=0}^{\infty}{q^{-n^2}}$ (avec $q \in \mathbb{N}, q \geq 2$) sont irrationnels car leurs développements en série d'Engel tendent vers l'infini.

Bibliographie

• Théorie des nombres, Daniel Duverney

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