Diagonalisation

En mathématiques, la diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire qui permet de simplifier la description de certains endomorphismes d'un espace vectoriel, éventuellement définis par des matrices. Elle consiste à rechercher et expliciter une base de l'espace vectoriel constituée de vecteurs propres, lorsqu'il en existe une. En dimension finie, la diagonalisation revient en effet à décrire cet endomorphisme à l'aide d'une matrice diagonale.

Ce procédé se ramène donc à une réduction maximale de l'endomorphisme, c'est-à-dire à une décomposition de l'espace vectoriel en une somme directe de droites vectorielles stables par l'endomorphisme. Sur chacune de ces droites, l'endomorphisme se réduit à une homothétie.

La diagonalisation d'une matrice permet un calcul plus simple de ses puissances et de son exponentielle, ce qui permet d'exprimer numériquement certains systèmes dynamiques linéaires, obtenus par itération ou par des équations différentielles.

Méthode

• Dans la plupart des cas, il est nécessaire de calculer le polynôme caractéristique de la matrice, afin de déterminer ses valeurs propres et les sous-espaces propres associés :
  Pour $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ le polynôme caractéristique est $\chi_M(x)={\rm det}(M-x I_n)\,$ où x est l'indéterminée et $I_n \,$ est la matrice unité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.
  Les valeurs propres $\lambda_i \,$ sont les racines de $\chi_M \,$, il y a donc au plus $n \,$ valeurs propres de multiplicité $m_i \,$.
  On détermine ensuite les sous-espace propres associés à chaque valeur propre :
  $E_{\lambda _i}={\rm Ker}(M-\lambda _i I_n) \,$
  La matrice ne sera diagonalisable que si la dimension de chaque sous-espace propre $E_{\lambda _i} \,$ est égale à la multiplicité $m_i \,$ de la valeur propre $\lambda_i \,$, ce qui signifie que pour chaque $\lambda_i \,$ on a une base de $m_i \,$ vecteurs propres que l'on note $X_ {i,j} \,$, $1 \le j \le m_i$.
  Alors il existera une matrice inversible U telle que U ^{− 1}MU soit égale à une matrice diagonale $D\,$ dont les coefficients diagonaux sont les $\lambda_i \,$ répétés $m_i \,$ fois et $U\,$ sera la matrice dont les colonnes sont les vecteurs $X_ {i,j} \,$ (l'ordre n'a pas d'importance, mais si on a le vecteur $X_ {i,j} \,$ sur la k-ième colonne de $U\,$, alors on a la valeur propre $\lambda_i \,$ sur la k-ième colonne de $D\,$).
• Il est aussi possible de déterminer directement les valeurs propres, et des bases des sous-espaces propres associés. La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des différents sous-espaces propres est égale à n. Si la matrice est diagonalisable, alors il existe une matrice inversible P obtenue en plaçant les unes à côté des autres, les colonnes propres formant une base de chacun des sous-espaces, et la matrice D = P ^{− 1}MP est alors diagonale. La dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre, correspond au nombre de fois que celle-ci est répétée sur la diagonale de la matrice diagonale D semblable à la matrice M.

Exemples

Premier exemple

Considérons la matrice :

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix}.$

Cette matrice admet comme valeurs propres :

$\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1.$

Ainsi A qui est de taille 3, a 3 valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable.

Si nous voulons diagonaliser A, nous avons besoin de déterminer les vecteurs propres correspondants. Il y a par exemple :

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}.$

On vérifie facilement que Av_k = λ_kv_k.

Maintenant soit P la matrice ayant ces vecteurs propres comme colonnes :

$P= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \end{pmatrix}.$

Alors « P diagonalise A », comme le montre un simple calcul :

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$

Remarquez que les valeurs propres λ_k apparaissent sur la diagonale de la matrice dans le même ordre que nous avons placé les colonnes propres pour former P.

Deuxième exemple

Soit $A= \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$
$\chi_A(T)=\operatorname{det}(A-TI_3)= \begin{vmatrix} -T & 3 & -1 \\ 2 & -1-T & 1 \\ 0 & 0 & 2-T \end{vmatrix}= -(2-T)^2 (3+T)$ (voir le calcul d'un déterminant)
Donc les valeurs propres sont :

• 2 de multiplicité 2
• -3 de multiplicité 1

Calcul des sous-espaces propres :
Calcul de E₂ : On cherche les $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ tels que :
$(A-2I_3)X=0 \,$
$\Leftrightarrow {\begin{pmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}} = 0 \Leftrightarrow -2x_1+3x_2-x_3=0$
Donc $E_2=\operatorname{Vect} \left\{ {\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \right\}$
On procède de même pour $E_{-3} \,$ et on obtient :
$E_{-3}=\operatorname{Vect} \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$
On a bien : $\operatorname{dim}( E_2 )=2 \,$ et $\operatorname{dim}( E_{-3} )=1 \,$, donc cette matrice est diagonalisable.
Une diagonalisation possible est : $B=U^{-1}AU={\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & {-3}\end{pmatrix}}$, avec $U = {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & -2 & 0\end{pmatrix}}$

Bibliographie

• Varga, Matrix Iterative Analysis

Voir aussi

• Valeur propre
• Vecteur propre
• Sous-espace propre
• Polynôme caractéristique
• Réduction d'endomorphisme
• Analyse en composantes principales