Différentielle exacte

En analyse, une forme différentielle est dite exacte s'il existe une forme différentielle dont elle est la dérivée extérieure, c'est-à-dire s'il est possible de l'intégrer. En particulier, une forme différentielle ω de degré 1 définie sur un ouvert U est exacte s'il existe une fonction f différentiable sur U telle que ω = df,.

Première approche

En une dimension, une forme différentielle

$\omega = A(x)\mathrm dx\,$

est toujours exacte.

En deux dimensions, d'après le théorème de Schwarz et le lemme de Poincaré, une forme différentielle

$\omega = A(x, y)\mathrm dx + B(x, y)\mathrm dy\,$

est exacte sur un ouvert simplement connexe U du plan ℝ² si et seulement si elle est fermée, c'est-à-dire qu'il existe entre A et B la relation:

$\left( \frac{\partial A}{\partial y} \right)_{x} = \left( \frac{\partial B}{\partial x} \right)_{y}$

En trois dimensions, une forme différentielle

$\omega = A(x, y, z)\mathrm dx + B(x, y, z)\mathrm dy + C(x, y, z)\mathrm dz\,$

est exacte sur un ouvert simplement connexe U de l'espace ℝ³ s'il existe entre les fonctions A, B et C les relations :

$\left( \frac{\partial A}{\partial y} \right)_{x,z} \!\!\!= \left( \frac{\partial B}{\partial x} \right)_{y,z}$   ;   $\left( \frac{\partial A}{\partial z} \right)_{x,y} \!\!\!= \left( \frac{\partial C}{\partial x} \right)_{y,z}$   ;   $\left( \frac{\partial B}{\partial z} \right)_{x,y} \!\!\!= \left( \frac{\partial C}{\partial y} \right)_{x,z}$

Ces conditions, qui sont faciles à généraliser, reposent sur l'indépendance de l'ordre de différentiation dans le calcul des dérivées secondes (théorème de Schwarz). Donc en dimension quatre, pour qu'une forme différentielle ω, qui est une fonction de quatre variables, soit une différentielle exacte, il y a six conditions à satisfaire.

En résumé, une forme différentielle ω est exacte s'il existe une forme Q telle que $\int_i^f\omega=Q(f)-Q(i)$, indépendamment du chemin d'intégration de i à f.

En thermodynamique, quand une 1-forme différentielle ω est exacte, donc de la forme dF, la fonction F est une fonction d'état du système. Les fonctions thermodynamiques U, S,H, A et G sont fonctions d'état. Généralement ni le travail, W ni la chaleur, Q ne sont des fonctions d'état.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Exact differential » (voir la liste des auteurs)
• (en) P. Perrot, A to Z of Thermodynamics, New York (1998), Oxford University Press
• (en) D. Zill, A First Course in Differential Equations, 5th Ed., Boston (1993), PWS-Kent Publishing Company

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Exact Differential », MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Inexact Differential », MathWorld
• (en) Exact and Inexact Differentials sur le site de W. R. Salzman, au département de chimie de l'université d'Arizona
• (en) Exact and Inexact Differentials sur le site de Richard Fitzpatrick, professeur de physique à l'université du Texas à Austin