Distance d'un point à une droite

La distance entre le point A et la droite (d ) est la distance AA_h

En géométrie euclidienne, la distance d'un point à une droite est la plus courte distance séparant ce point et un point courant de la droite. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A à la droite (d ) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal A_h sur la droite (d ). On peut ainsi écrire :

d(A,(d)) = d(A,A_h)

Dans le plan

Si le plan est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0 et si le point A a pour coordonnées (x_A ; y_A), alors la distance entre A et (d ) est donnée par la formule

$d(\mathrm{A}, (d)) = \mathrm{AA}_h = \frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

où |r | représente la valeur absolue du réel r.

En effet, si M(x, y ) est un point quelconque de la droite (d ), et si on note $\vec n$ le vecteur normal à la droite (d ) de composantes (a ; b ), alors la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ et $\vec n$ est donnée par les deux expressions :

$|\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \vec n | = |a(x-x_\mathrm{A}) + b(y - y_\mathrm{A})|= |ax_\mathrm{A} + by_\mathrm{A} + c|$ ( ax + by = - c car M est un point de (d))

$|\overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \vec n| = \mathrm{AA}_h \times ||\vec n|| = \mathrm{AA}_h\times \sqrt{a^2+b^2}$.

En particulier,

• si la droite a pour équation y = mx + p alors $d(\mathrm{A}, (d))=\frac{|mx_\mathrm{A} - y_\mathrm{A} + p |}{\sqrt{1+m^2}}$
• si la droite a pour équation x = a alors d(A,(d)) = | x_A − a |  ;
• si la droite a pour équation y = b alors d(A,(d)) = | y_A − b | .

Dans l'espace

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d ) passe par le point B et a pour vecteur directeur $\vec u$, la distance entre le point A et la droite (d) est donnée par la formule

$d(\mathrm{A}, (d))= \frac{\left\|\overrightarrow{\mathrm{BA}} \wedge \vec u\right\|}{\|\vec u\|}$

où $\vec BA \wedge \vec u$ représente le produit vectoriel des vecteurs $\vec BA$ et $\vec u$ et où $\|\vec u\|$ représente la norme du vecteur $\vec u$.

En effet, si l'on note C le point de (d ) tel que $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec u$ alors l'aire du triangle ABC est donnée par les deux expressions

$\mathrm{A}_{\mathrm{ABC}} = \frac{1}{2} \left\|\overrightarrow{\mathrm{BA}} \wedge \overrightarrow{\mathrm{BC}} \right\|$

$\mathrm{A}_{\mathrm{ABC}} = \frac{1}{2} \mathrm{BC} \times \mathrm{AA}_h$.

Cette distance est supérieure ou égale à toute distance séparant le point A d'un plan contenant la droite (d ). Si la droite (d ) est définie comme l'intersection de deux plans perpendiculaires et si l'on note d₁ et d₂ les distances du point A à ces deux plans, on a :

$d(\mathrm{A}, (d))= \sqrt{{d_1}^2+{d_2}^2}$.

Voir aussi

• Distance
• Distance d'un point à un plan
• Propriétés métriques des droites et plans