Distribution Tempérée


Distribution Tempérée

Distribution tempérée

Une distribution tempérée est une distribution T dont le domaine s'étend à S, au sens où T peut alors être identifiée à un élément du dual topologique de S. L'ensemble des distributions tempérées se note naturellement ' S' '.

S' est alors un sous-espace vectoriel (propre) de D' (remarquer: S est plus grand que D, S' est plus petit que D') et il existe un critère simple d'appartenance à S': Si T est à support compact, elle est tempérée. Par exemple, 1 et δ sont tempérées.

Les distributions tempérées ont été introduites par Laurent Schwartz, mais sous l'appellation 'distributions sphériques', ce qui explique l'emploi de la lettre S par Schwartz lui-même!

Sommaire

Topologie

La topologie de S' est évidemment sa topologie faible-*. (S' est localement convexe et son dual topologique s'identifie à S)

Explicitement :

La collection de tous les ensembles de la forme \{\Lambda \in S' :\, | \langle \Lambda , \phi_1 \rangle | < \alpha_1 , \dots, | \langle \Lambda , \phi_N \rangle | < \alpha_N  \} ( où \phi_1,\dots \phi_N \in S ; \, \alpha_1,\dots \alpha_N \in \mathbb{R}^{ \ast +} ) est une base de voisinages de 0.

Et par suite :

Si U désigne une réunion de tels ouverts, alors tout voisinage de T est de la forme T+U, et les ouverts de S' sont les ensembles T+U.

Ainsi la convergence dans S' est analogue à la convergence au sens des distributions: Dire que la suite {TN} de S' tends vers T signifie que pour toute fonction \phi\in S, on a \langle T-T_N, \phi\rangle\underset{N\infty}{\longrightarrow} 0

Transformée de Fourier, cas général

Définition

La transformée de Fourier FT: S\rightarrow S , \, \phi \rightarrow \hat{\phi}  est un de automorphisme S. La généralisation suivante est donc consistante:

\langle \hat{T}, \phi \rangle\!:= \langle {T}, \hat{\phi} \rangle\ \quad (\phi\in S)


(On définit bien une distributions tempérée \hat{T} et l'on retrouve la transformée de Fourier usuelle si T s'identifie à une fonction  f\in S:


 \hat{f}=g \Leftrightarrow \langle \hat{T}, \phi \rangle = \int g\phi = \int \hat{f} \phi = \int  f \hat{\phi}=  \langle T, \hat{\phi} \rangle  \quad (\forall \phi\in S )

)

Ainsi, transformée de Fourier au sens des distributions est un automorphisme de S'.

premières propriétés

FT est un automorphisme de S, de période 4 (i.e 4 est le plus entier positif k tel que \forall \phi \in S:\, FT^k (\phi)= \phi ) , bicontinu (FT − 1 est aussi continue)

On peut montrer que la transformée de Fourier dans S' hérite de ces propriétés.

En particulier  T\in S' \rightarrow \hat{T} est continue- ce qui a pour conséquence:

 T_n \underset{n\infty}{\longrightarrow} T  \Rightarrow  \hat{T}_n \underset{n\infty}{\longrightarrow} \hat{T}

Cas des distributions tempérées à support compact

Dans cette section, T est à support compact.

On peut montrer que \tilde{T}(x)\!:= \langle T, e^{-\omega ixt} \rangle a un sens, du fait de la compacité du support de T.

de plus, \hat{T} s'identifie alors à  \tilde{T}

On peut alors poser \hat{T} (x)\!:= \langle T, e^{-\omega ixt} \rangle \quad (x\in\mathbb{R}^n)

Transformée de Fourier-Laplace

Donnons maintenant :

\hat{T} (z)\!:= \langle T, e^{-\omega izt} \rangle \quad (z\in\mathbb{R}^n)

Ce qui définit la transformée de Fourier-Laplace de T. C'est bien sûr une extension à \mathbb{C}^n de Fourier.

On montre (théorème de Paley-Wiener) qu'une telle fonction z\in \mathbb{C}^n \rightarrow \hat{T}(z) est entière.

Application aux équations différentielles

Références

  • L.Schwartz, Théorie des distributions et transformation de Fourier, 1948
  • W.Rudin, Functional Analysis, 1991
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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