Dodécagone

un dodécagone régulier

Un dodécagone est une figure de géométrie plane. C'est un polygone à 12 sommets et côtés. Il possède 54 diagonales et la somme de ses angles est égale à 1800°^[1].

Un dodécagone régulier est un dodécagone dont tous les côtés et tous les angles sont égaux. La forme régulière est construite au compas par la dissection de chaque côté d'un hexagone régulier. Le périmètre du dodécagone régulier donne une meilleure approximation de Pi que celle donnée par la mesure du périmètre de l'hexagone.

Caractéristiques numériques du dodécagone régulier

La relation entre le côté a du dodécagone et le rayon r de son cercle circonscrit est donnée par

$a = r \sqrt{2 - \sqrt{ 3}}$

ce qui fournit comme approximation de π

$\pi \approx 6\sqrt{2 - \sqrt 3}$

L'aire A du dodécagone régulier de côté a est donnée par :

$A = 3 a^2 \cot \frac{\pi}{12} = 3 a^2 \left( 2+\sqrt{3} \right) \simeq 11,1962\ a^2.$

Alternativement :

$A = 3 r^2 \frac{}{}.$

où r est le rayon du cercle circonscrit.

Construction du dodécagone régulier

Un dodécagone régulier peut être construit à l'aide d'un compas et d'une règle. L'animation ci-dessous montre une manière en 23 étapes pour y parvenir. Le rayon du compas n'est pas modifié entre les étapes 8 à 11.

Pavage du plan à l'aide de dodécagone

pavage semi-régulier 3.12.12

pavage semi-régulier : 4.6.4.12

pavage semi-régulier: 3.3.4.12 & 3.3.3.3.3.3

Découpage

Un découpage astucieux d'un dodécagone régulier en 6 figures géométriques (pentagones ou triangles) permet par réassemblage des pièces, de construire un carré.

D'autres découpages en 8, 10 ou 12 pièces permettent de reconstruire un triangle équilatéral, un pentagone, un décagone^[2]. La possibilité de tels découpages est une conséquence du théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien.

Notes

1. ↑ La somme des angles d'un polygone à n côtés est donnée par 180° * (n - 2)
2. ↑ Dictionnaire de mathématiques récréatives

Liens externes

• Le dodécagone transformé en carré
• Dissection du dodécagone en hexagone (gif animé)