Droite de Philon

Droite de Philon (MN) relative à (Ox) et (Oy) et passant par A

En géométrie plane, la droite de Philon est le plus court segment joignant deux demi-droites données (Ox) et (Oy) et passant par un point A donné^[1]. Cette droite porte le nom du mathématicien mécanicien Philon de Byzance qui l'aurait mise en place pour résoudre le problème de la duplication du cube^[2].

Propriété caractéristique

Propriété fondamentale — Soit [MN] le segment cherché et H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OMN, [MN] est le segment le plus court si et seulement si les distances AM et HN sont égales;

Démonstration :

On trace le cercle de diamètre [OA]. Ce cercle rencontre la demi-droite (Ox) en O et B et la demi-droite (Oy) en O et C. Le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OMN est le point d'intersection de ce cercle avec la droite (MN). Si on suppose que le point A est plus proche de (Ox) que de (Oy), le plus court chemin MN sera obtenu pour un point H situé sur l'arc de cercle (AC).

On appelle a la distance OA, h la distance OH, φ l'angle AOH, θ_b l'angle AOB et θ_c l'angle AOC. La trigonométrie dans les triangles rectangles permet d'obtenir les relations suivantes :

NH = htan(θ_c − φ)

HM = htan(θ_b + φ)

HA = htan(φ)

AM = htan(θ_b + φ) − htan(φ)

h = acos(φ)

La distance que l'on cherche à optimiser est alors :

$L(\varphi)=a\cos(\varphi)\left(\tan(\theta_c-\varphi)+\tan(\theta_b+\varphi)\right)$

La dérivée de L s'exprime alors sous la forme :

$L'(\varphi) = a\cos(\varphi)\left(-\tan^2(\theta_c-\varphi)+\tan^2(\theta_b+\varphi)\right) - a\sin(\varphi)\left(\tan(\theta_c-\varphi)+\tan(\theta_b+\varphi)\right)$

$L'(\varphi) = a\cos(\varphi)\left(\tan(\theta_c-\varphi)+\tan(\theta_b+\varphi)\right)\left(-\tan(\theta_c-\varphi)+\tan(\theta_b+\varphi)-\tan(\varphi)\right)$

$L'(\varphi) = L(\varphi) \left(-\tan(\theta_c-\varphi)+\tan(\theta_b+\varphi)-\tan(\varphi)\right) = \frac 1h L(\varphi) (AM - HN)$

Le signe de la dérivée est donc celui de la différence AM - HN. Lorsque l'angle φ augmente, AM augmente et HN diminue. La différence augmente et passe d'une valeur négative (si H est en A) à une valeur positive (si H est en B) et s'annule donc pour une valeur φ₀.

La longueur L(φ) est donc décroissante puis croissante et atteint son minimum pour une valeur φ₀ telle que AM=HN

Duplication du cube

Cette construction permet d'insérer deux moyennes proportionnelles entre deux valeurs a et b et en particulier, permet la résolution de la duplication du cube. Philon présente cette méthode dans un ouvrage de mécanique sur la construction d'arme de jet. En effet, il cherchait à doubler la puissance de ses armes et avait conclu que, pour doubler la puissance, il suffisait de doubler le volume de celles-ci^[3].

Moyennes proportionnelles

Pour insérer deux moyennes proportionnelles entre les valeurs a et b, il suffit de construire un rectangle OBAC tel que OB=a et BA=b, de construire la droite de Philon pour les demi-droites [OB) et [OC) passant par A. Le point H fournit les deux moyennes proportionnelles. Si H_c est le projeté orthogonal de H sur (OC), on peut glisser deux moyennes proportionnelles entre b et a à l'aide de HH_c et OH_c.

En effet,

Puisque NH=AM, les triangles NH_cH et ABM sont égaux, la droite (H_cB) est parallèle à (MN) et l'on peut repérer une série de triangles semblables à NOM : H_cOB, HH_cO, NH_cH d'où l'on tire les égalités de rapports suivantes :

$\frac{OB}{H_cO} = \frac{H_cO}{HH_c}=\frac{H_cH}{NH_c}$

Soit encore :

$\frac{a}{H_cO} = \frac{H_cO}{HH_c}=\frac{H_cH}{b}$

Cette construction permet en outre de déterminer la racine cubique du rapport a/b et les deux longueurs peuvent être déterminées à l'aide de racines cubiques. Si on note x = HH_c et y = H_cO, on obtient

$\frac{a}{y} = \frac{y}{x}=\frac{x}{b}=t$

En multipliant ces trois rapports entre eux, on en déduit :

$\frac ab=t^3$

Soit encore

$t=\sqrt[3]{\frac ab}$

Ainsi, on obtient

$x=\sqrt[3]{ab^2}$

$y=\sqrt[3]{a^2b}$

En particulier, en prenant a=2 et b=1, la valeur x donne la racine cubique de 2.

Construction

Aucune construction à la règle et au compas ne permet de résoudre la duplication du cube, il en est donc de même de la droite de Philon. Mais elle peut être obtenue à l'aide de l'intersection de deux coniques : le point H est en effet situé sur le cercle de diamètre OA, ainsi que sur l'hyperbole d'équation xy=ab

Notes et références

1. ↑ David Wells, Dictionnaire Penguin des curiosités géométriques, éditions Eyrolles
2. ↑ Bernard Vitrac, Mécanique et mathématiques à Alexandrie : le cas de Héron, p 22
3. ↑ Les plus grands scientifiques du bassin méditerranéen, Philon de Byzance

Voir aussi

Liens internes

• Philon de Byzance
• Duplication du cube

Liens externes

• (en) Weisstein, Eric W. "Philo Line." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PhiloLine.html