Dual topologique

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Définition

Soit E un espace vectoriel topologique sur le corps ℝ ou ℂ.

Le dual topologique $\scriptstyle E^\prime$ de $\scriptstyle E$ est le sous-espace vectoriel de E ^* (le dual algébrique de E) formé des formes linéaires continues.

Si l'espace est de dimension finie, le dual topologique coïncide avec le dual algébrique, puisque dans ce cas toute forme linéaire est continue.

Mais dans le cas général, l'inclusion du dual topologique dans le dual algébrique est stricte.

Exemple

Soit D l'espace vectoriel réel des fonctions dérivables de l'intervalle [0,1] dans ℝ, muni de la topologie de la norme uniforme

$n(f)=\sup_{x \in [0,1]}|f(x)|.$

Soit p la forme linéaire sur D définie par

$p(f)=f'(0).~$

Soit par ailleurs la suite (f_n)_{n > 0} de fonctions de D définie par f_n(x) = x(1 − x)ⁿ. On constate facilement que

$\lim_{n \to\infty}f_n=0$

(la fonction f_n est positive et maximale pour x = 1 / (n + 1)).

Mais p(f_n) = 1 pour tout n alors que p(f_n) devrait tendre vers p(0) = 0 si p était continue.

Topologies duales

Dans certains cas, on peut définir canoniquement diverses topologies sur le dual.

Topologie faible du dual

À tout vecteur v de E on peut faire correspondre l'application p_v de $\scriptstyle E^\prime$ dans ℝ définie par p_v(f) = | f(v) | . Cette application p_v est une semi-norme sur $\scriptstyle E^\prime$. La topologie d'espace localement convexe définie par cette famille de semi-normes s'appelle la topologie faible du dual. C'est la topologie la moins fine rendant continues les applications f↦f(v).

Il résulte du théorème de Hahn-Banach que la topologie faible séparée^[1].

Topologie forte sur le dual d'un espace normé

Si E est un espace vectoriel normé, on peut définir une norme duale $\scriptstyle\| . \|^\prime$ sur $\scriptstyle E^\prime$ par

$\|f\|^\prime=\sup_{v \in E,v \ne 0 } \frac{|f(v)|}{\|v\|}$

(C'est un cas particulier de la norme d'opérateur.)

$\scriptstyle E^\prime$ muni de cette norme est appelé le dual fort de E. C'est un espace de Banach (cf paragraphe « Complétude » de l'article « Espace vectoriel normé »).

Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki affirme que la boule unité fermée du dual fort d'un espace de Banach est *-faiblement compacte.

Il est important de remarquer que même en dimension finie, les espaces normés E et $\scriptstyle E^\prime$, qui sont algébriquement isomorphes, ne sont pas isométriques en général.

Dual topologique d'un espace préhilbertien

Lorsque H est un espace préhilbertien^[2] il existe un application semi-linéaire (donc ℝ-linéaire) canonique j de $\scriptstyle H$ dans $\scriptstyle H^\prime$ : pour tout élément v de H, j(v) est la forme linéaire continue définie par :

$\forall w \in H, j(v)(w)=\langle v,w\rangle.$

On démontre (cf paragraphe « Structure du dual » de l'article « Espace préhilbertien ») la propriété fondamentale suivante :

Le dual $\scriptstyle H'$ d'un espace préhilbertien $\scriptstyle H$ est canoniquement muni d'une structure d'espace de Hilbert ;

l'application ℝ-linéaire j, de $\scriptstyle H$ dans $\scriptstyle H'$, préserve le produit scalaire (donc est injective) et son image est dense.

En particulier :

Si H est un espace de Hilbert, l'application semi-linéaire canonique j est une isométrie bijective de H dans son dual topologique.

La bijectivité de j dans le cas hilbertien se déduit de l'énoncé du cas préhilbertien, mais peut aussi se démontrer directement : c'est le théorème de représentation de Riesz.

Bidual (topologique)

Alors que la notion purement algébrique du bidual ne présente aucune ambiguïté, il en est tout autrement pour les notions topologiques. En effet, selon la topologie retenue sur le dual, l'ensemble des formes linéaires continues sur ce dual pourra être plus ou moins gros.

Bidual d'un espace de Banach et réflexivité

Dans le cas d'un espace de Banach E, ce qu'on appelle en général de bidual, noté $\scriptstyle E''$, est le dual du dual fort.

Il existe une application naturelle de E dans son bidual, l'application d'évaluation

$J:E\rightarrow E''\qquad \forall x\in E, \,\forall \ell \in E', \, J(x)(\ell)=\ell(x)$

qui constitue une injection isométrique d'après le théorème de Hahn-Banach. Lorsque J est une bijection, l'espace E est dit réflexif.

Exemples^[3].

• Pour 1<p<∞, l'espace de suites ℓ^p est réflexif. Son dual est l'espace ℓ^q, avec ¹⁄_p+¹⁄_q=1.
• Dans ℓ^∞, le sous-espace des suites de limite nulle n'est pas réflexif : son dual est ℓ¹ et le dual de ℓ¹ est ℓ^∞.

Notes et références

1. ↑ Voir (en) N. Lerner, Lecture notes on real analysis, Université Pierre et Marie Curie, 2011, p. 54.
2. ↑ Dans le cas complexe, deux conventions coexistent (voir l'article Forme sesquilinéaire complexe) : produit scalaire $\scriptstyle\langle v,w\rangle$ linéaire par rapport à v et semi-linéaire par rapport à w, comme dans les articles Espace préhilbertien et Espace de Hilbert, ou l'inverse, comme ici et dans l'article Théorème de représentation de Riesz. La définition de l'application j varie naturellement en fonction de la convention choisie.
3. ↑ Georges Skandalis, Topologie générale, Masson

Bibliographie

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]