Ellipse de Steiner

Une ellipse de Steiner est inscrite dans le triangle.

En géométrie, l’ellipse de Steiner d'un triangle est l'unique ellipse tangente à chacun des côtés en leur milieu. Elle est nommée en référence au mathématicien suisse Jakob Steiner.

Propriétés

• Parmi toutes les ellipses inscrites dans le triangle, l'ellipse de Steiner est celle qui a une aire maximale. Le rapport de l'aire de l'ellipse sur celle du triangle est égale à $\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$.
• Le centre de l'ellipse est l'isobarycentre du triangle.
• Si z₁, z₂ et z₃ sont les affixes complexes des sommets du triangle et si P(z) est le polynôme (z − z₁)(z − z₂)(z − z₃), alors les foyers de l'ellipse sont les deux racines du polynôme P', dérivé du polynôme P.
• La droite passant par les deux foyers de l'ellipse est la droite telle que la somme des carrés des distances des sommets du triangle à la droite soit minimale (droite de régression orthogonale des trois sommets).

Construction

Dans le cas où le triangle est équilatéral, cette ellipse est le cercle inscrit. Comme tout autre triangle est l'image d'un triangle équilatéral par une application affine, l'image du cercle inscrit par une telle application est une ellipse qui satisfait les conditions de tangence au milieu de chaque côté.

Cette démonstration est analogue à celle du théorème des cinq points, qui fait intervenir également des conditions de tangence et d'incidence. En réalité, les six conditions requises pour l'ellipse de Steiner sont liées par la donnée du triangle initial.

Plus généralement, dans un triangle (ABC), si A', B' et C' sont des points respectivement situés sur les segments [BC], [AC] et [AB], alors il existe une ellipse passant par A', B' et C' et tangente en chacun de ces points à un côté du triangle si et seulement si les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes ; dans ce cas, l'ellipse obtenue est unique.

Ce type d'énoncé se modifie en choisissant des points de tangence sur les droites supportant les côtés du triangle, les coniques obtenues pouvant alors être des hyperboles ou paraboles.

Référence

• Yves Ladegaillerie, Géométrie pour le Capes et l'Agrégation, chapitre 8, exercice 3.4.7.
• D.Minda, S.Phelps, Triangles, ellipses and cubic polynomials, Amer. Math. Monthly, 115, n°8 (octobre 2008), 679-689.