Ensembliste-identitaire et mathématiques

Le philosophe du XX^e siècle Cornelius Castoriadis a été tenté par une définition formelle de ses concepts d'ontologies ensembliste-identitaire et sociale-historique, tentative apparemment abandonnée à la fin de sa vie.

Partie rigoureusement mathématique

Dans l'ontologie ensembliste-identitaire (e-i) quand on dit « la vache est un mammifère » cela signifie que la vache appartient au sous-ensemble des mammifères. Castoriadis a bien précisé cette appartenance à un sous-ensemble en des termes conformes à l’état des mathématiques de l’époque. Tout tourne autour des classes d’équivalence.

Petit rappel mathématique

Une relation d'équivalence R dans un ensemble E est une relation binaire qui est dans cet ensemble , réflexive , symétrique et transitive.

• C'est une relation binaire, notée R.
• R est réflexive : tout élément de E est associé à lui-même , x R x:
• R est symétrique : x R y implique y R x :
• R est transitive : x R y et y R z impliquent x R z  :

Considérons un ensemble E muni d'une relation d'équivalence R. La classe d'équivalence d'un élément x de E , notée «  ( x ) » , est alors l'ensemble des images de x par R :

• ( x ) est un sous-ensemble de E.
• ( x ) n'est jamais vide, car elle contient toujours au moins x lui-même (est réflexive).
• Inversement, tout élément de E appartient à au moins une classe d'équivalence : la sienne.
• ( y ) = ( x ) ssi y appartient à ( x ).
• Inversement, si y est un élément de E n'appartenant pas à ( x ) , alors l'intersection de ( x ) et de ( y ) est vide.

On déduit de ce qui précède que l'ensemble des classes d'équivalence de E forme une partition de E. Inversement, toute partition d'un ensemble y définit une relation d'équivalence.

Formalisation de l’ensembliste identitaire (e-i)

que l’on pourrait tout aussi bien appeler du terme barbare de sous-ensembliste-équivalentaire. Castoriadis remarque à juste titre que dans notre exemple « la vache appartient au sous-ensemble des mammifères » signifie aussi :

• la vache appartient à la classe d’équivalence des mammifères ou bien
• la vache est lié à la chèvre par une relation d’équivalence « R » qui consisterait à dire par une longue périphrase que toutes les caractéristiques des mammifères lient vache et chèvre entre autres. Ou bien
• que vache et chèvre sont dans une même classe d’équivalence dont « l’identité » est faite des caractéristiques des mammifères.
• D’où la notion d’ensembliste-identitaire.

En ce sens on peut admettre que notre univers physique et biologique est descriptible en termes d’ensembles et de sous-ensembles gigognes d’êtres reliés par des relations d’équivalence, c’est l’univers de l’ontologie ensembliste-identitaire, d'une chose un peu plus compliquée que la taxinomie qui serait une organisation en treillis mathématique. Ici on ne trouve pas d’inconvénient formel à l’emploi de ces concepts mathématiques pour définir un concept de philosophie ontologique.

Tentative d’axiomatisation du social-historique (s-h)

Dans cette ontologie les choses se compliquent comme le fait remarquer Castoriadis. En effet on peut tenter de décrire des institutions sociales selon un formalisme mathématique puisque le langage ordinaire est trop « humain » ou « social » ou « institué » pour décrire quelque chose qui ferait partie de son ontologie, (le langage est un des premiers objets que l’on repère comme dépassant l’ontologie ensembliste-identitaire (e-i) et appartenant au s-h, social-historique). Disons que l’on va tenter d’utiliser un mélange de formalisme mathématique et de langage courant.

CC invente la notion de magma (rien à voir avec la structure mathématique de Magma ou de monoïde, simple coïncidence). Un magma est un ensemble-plus-quelque-chose, partitionné lui-même en sous-magmas qui sont des sous-ensembles-plus-quelque-chose. Les ensembles et sous-ensembles en question peuvent très bien être tirés de l’ontologie précédente (ensembliste-identitaire), c’est même obligé car les institutions humaines se construisent (s’étayent dit CC) sur l’univers physico-bio-mathématique. Quand je parle de l’objet sacré chandelier à 7 branches, il est clair qu’il fait partie du sous-ensemble e-i des luminaires. Il est clair aussi que cela ne rend pas compte de sa définition sacrée. On peut toujours tenter de dire qu’il appartient à l’intersection des 2 sous-ensembles, {les luminaires} et {les objets sacrés}, mais… {les objets sacrés} ne sont pas un sous-ensemble trouvable dans la nature puisque leur « identité » de sacré est toujours une institution imaginaire arbitraire inventée par chaque civilisation. Ici c’est le nombre magique de branches, arbitrairement fixé à 7, mais l’étoile de David a un nombre sacré de pointes égal à 6 et le sceau de Salomon est une étoile avec a un nombre sacré de pointes égal à 5. On ne peut même pas constater que cette civilisation possède un nombre magique préférentiel. Pour CC {les objets sacrés} ne sont pas un sous-ensemble mais un magma.

Axiomatique sommaire et récursive : Castoriadis tente une construction similaire à la théorie des ensembles, juste un petit peu plus riche : un magma est fait de sous-ensembles et de magmas. Un magma n’est jamais vide (alors que l’ensemble vide existe en maths). Un magma contient toujours au moins un sous-magma. Le rebouclage de magmas-gigognes n’est pas interdit. Ce qui veut dire que quand on essaie de définir un objet par une imbrication de magmas, on tire un fil de l’écheveau qui mène à un autre écheveau, et on a besoin de définir un certain objet institutionnel par le magma ou objet de départ. Ce qui n’est d’ailleurs pas choquant, la circularité étant une caractéristique de l’ontologie sociale-historique, mais c’est bien ennuyeux pour un travail de formalisation mathématique, l'axiomatique sommaire et récursive des magmas est aussi circulaire. Dans la suite de ses ouvrages, Castoriadis n’a pas beaucoup utilisé ses magmas de manière opérationnelle.

Références

• Qui est Castoriadis ? (voir F.Giust-Desprairies)
• La philosophie de Castoriadis
• Castoriadis, Domaines de l'homme(Les carrefours du labyrinthe II), pages 385-418. , Seuil, 1986 (ISBN nnnnn )