Entropie Topologique

Entropie topologique

En mathématiques et plus précisément, dans la théorie des systèmes dynamiques, l'entropie topologique est un réel associé à tout homéomorphisme d'un espace topologique séparé et compact. Ce réel caractérise l'action induite de l'homéomorphisme sur les recouvrements ouverts finis de l'espace considéré, ou plutôt son comportement limite de son itération lorsque le nombre d'ouverts tend vers l'infini. Certains ouvrages ou articles définissent la notion par restriction aux espaces compacts métrisables. Non seulement, cela permet d'énoncer une définition plus abordable, mais en plus elle recouvre tous les cas intéressants. De plus, cette seconde approche permet de réinterpréter l'entropie topologique en termes de comportement limite du pistage des orbites de l'homéomorphisme, un outil important dans la compréhension des systèmes dynamiques topologiques.

L'entropologie topologique est une notion topologique, à ne pas confondre avec l'entropie métrique qui caractérise les systèmes dynamiques mesurables. Toutefois, tout homéomorphisme sur un espace compact admet des mesures boréliennes invariantes ; l'entropie topologique apparait de facto comme la borne supérieure des entropies métriques correspondantes (lire Théorème du principe variationnel).

Approche métrique de l'entropie topologique

Définition formelle

Soit X un espace compact métrisable et $h:X\rightarrow X$ un homéomorphisme de X. Pour une distance d donnée, on appelle r-séquence toute séquence de points de X séparés d'une distance au moins r : cette notion dépend explicitement de la distance d. Les r-séquences peuvent être vues comme une variante discrète du recouvrement de X par des boules ouvertes.

Plus précisément, si m_d(r) désigne le nombre minimum de boules ouvertes de rayon r pour recouvrir X, alors, par application du principe des tiroirs, il ne peut exister aucune r séquence d'une longueur supérieure à m_d(r / 2). Réciproquement, pour toute r-séquence maximale $x_1,\dots,x_k$, les boules ouvertes de centres respectifs $x_1,\dots,x_k$ et de rayon r recouvrent X. De fait, on dispose de l'encadrement :

$m_d(r)\leq n_d(r)\leq m_d(r/2)$.

Notons d_n la distance itérée définie par :

$d_n(x,y)=\sup_{0\leq i\leq n} d(f^ix,f^iy)$.

Cette définition dépend de l'homéomorphisme f et d_n(x,y) s'interprète comme la distance maximale entre les n premiers termes des orbites respectives de x et de y sous f. Donc, n_d_n(r) est le nombre maximal de points de X restant séparés d'une distance au moins r durant les n premières itérations de f.

L'entropie topologique de f est définie formellement par :

$h(f)=\lim_{r\rightarrow 0} \limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\log n_{d_n}(r)$

A priori, cette définition dépend explicitement de l'utilisation d'une distance arbitraire sur l'espace X. Il s'avère a posteriori que cette quantité dépend uniquement de la topologie de X (de la donnée des ouverts de X).

Pistage

Le pistage consiste à approcher les premiers termes d'une orbite de f par une séquence de points à une distance ε près. En pratique, il est intéressant de pister des orbites par des pseudo-orbites. Le nombre minimal d'orbites de f qu'il faut utiliser pour pouvoir pister toutes les orbites de f est m_d_n(r). Des inégalités :

$m_{d_n}(r)\leq n_{d_n}(r)\leq m_{d_n}(r/2)$.

Il vient :

$h(f)=\lim_{r\rightarrow\infty} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\log m_{d_n}(r)$

Ainsi, pour des petits r, de manière informelle, m_d_n(r) est en ordre de grandeur de l'ordre de exp((h(f)+o(r)).n).

Indépendance en la distance

Approche topologique de l'entropie topologique

Par compacité de X, pour tout recouvrement ouvert U de X, on peut en extraire des sous-recouvrements finis. Notons N(U) le nombre minimal d'ouverts à sélectionner parmi U pour former un recouvrement de X. Ce nombre N(U) est une fonction décroissante de U : si V est un recouvrement plus fin que U, alors N(V)<N(U).

Pour U et V donnés, on note $U \lor V$ le recouvrement constitué des intersections des ouverts de U par les ouverts de V. Il est élémentaire de constater :

$N(U \lor V )\leq N(U).N(V)$

On construit une séquence U_n par récurrence en posant :

U_n = U_{n − 1}vf ^* U_n

La suite logN(u_n) est sous-additive en n. Par des resultats mathematiques classiques, le rapport logN(U_n) / n converge. On appelle entropie relative de f par rapport à U la limite :

$h(f,U)=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\log N(U_n)$

Définition formelle

$h(f)=\sup_Uh(f,U)$

Cette entropie relative est décroissante en U. Le supremum peut être lu comme un passage à la limite sur les recouvrements ouverts de X. Ce passage à la limite se formalise mathématiquement par la notion de filtre.

Plus simplement ici, il est possible d'introduire h(f) comme une limite sur une suite d'entropies relatives. Plus précisément, on a :

$h(f)=\lim_{n\rightarrow \infty} h(f,U_n)$

où U_n est une suite de recouvrements de plus en plus fins, qui ont la propriété que, pour tout recouvrement V donné, pour n suffisamment grand, U_n est plus fin que V.

L'introduction d'une distance

Propriétés de l'entropie topologique

• Pour tout homéomorphisme f d'un espace topologique séparé compact X, l'entropie topologique de f^k est k fois l'entropie topologique de f :

h(f^k) = k.h(f)

h(f ^{− 1}) = h(f)

Calcul de l'entropie topologique

Article détaillé : Calcul de l'entropie topologique.

Lien externe

• Petit texte introductif sur l'entropie topologique

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