Affinite (mathematiques)

Affinité (mathématiques)

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En mathématiques, en géométrie en particulier, une affinité est une application affine ou linéaire égale à l'identité dans une direction et à une homothétie dans une autre.

Affinité vectorielle

Figure 1. Construction d'une affinité

Les affinités vectorielles sont les endomorphismes qui sont somme directe de l'identité et d'une homothétie. Plus précisément :

Soit $E\,$ un espace vectoriel et deux sous espaces supplémentaires $F\,$ et $G\,$ ($E=F \oplus G$) ;

l'affinité de base $F\,$ (ou sur $F\,$), de direction $G \,$ et de rapport $\lambda\,$ est l'unique endomorphisme $f\,$ qui se restreint à $F\,$ en l'identité, et à $G\,$ en l'homothétie de rapport $\lambda\,$ :

Si $x=x_F+ x_G\,$ alors $f(x) = x_F + \lambda x_G\,$.

Caractérisation en dimension finie : endomorphisme diagonalisable ayant deux valeurs propres au plus dont une est l'unité.

Les affinités recouvrent :

• l'identité ($\lambda=1\,$)
• les projections, ou projecteurs ($\lambda=0\,$)
• les symétries, ou involutions linéaires ($\lambda=-1\,$), se réduisant à l'identité si la caractéristique du corps est 2)
• les homothéties ( $G=E\,$)
• les dilatations, ou affinités hyperplanes, ($\dim G=1\,$).

Affinité ponctuelle

Étant donné un sous-espace affine $F\,$ d'un espace affine $E\,$ associé à $\overrightarrow E$ et une direction supplémentaire $\overrightarrow G$, l'affinité de base $F\,$ (ou sur $F\,$) de direction $\overrightarrow G\,$ et de rapport λ est l'application définie par la construction :

1. pour tout point $M\,$ dans $E\,$ on trace l'unique sous-espace $G_M\,$ passant par $M\,$ et de direction $\overrightarrow G$ ;
2. $G_M\,$ coupe $F\,$ en un point unique $H\,$ ;
3. l'image de $M\,$ par $f\,$ est alors le point $M'\,$ tel que $\overrightarrow{HM'}=\lambda\overrightarrow{HM}$.

Les applications affines de partie linéaire une affinité vectorielle sont des affinités ponctuelles à condition d'avoir au moins un point fixe ; dans le cas général, on obtient des affinités glissées, composées d'une affinité et d'une translation de vecteur parallèle à la direction de l'affinité.

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