Equation de Weierstrass

Équation de Weierstrass

L'équation de Weierstrass, aussi appelée forme de Weierstrass, correspondant à une courbe elliptique donne une forme simplifiée de son équation. Cette forme dépend de la caractéristique du corps K sur lequel la courbe elliptique est définie (d'où ses coefficients proviennent).

Il y a trois types d'équations de Weierstrass.

• Si la caractéristique de K est supérieure à 3 (ce qui inclut les cas où elle est infinie, quand K est isomorphe aux nombres réels, aux nombres complexes ou aux nombres rationnels) alors l'équation de Weierstrass pour une courbe elliptique est de la forme

y² = x³ + ax + b

où a,b sont des éléments de K.

• Si la caractéristique de K est de 3, c'est-à-dire que K est isomorphe au corps fini sur 3^r éléments, alors l'équation de Weierstrass pour une courbe elliptique est de la forme

y² = x³ + ax² + bx + c

où a,b,c sont des éléments de K.

• Si la caractéristique de K est de 2, c'est-à-dire que K est isomorphe au corps fini sur 2^r éléments, alors l'équation de Weierstrass pour une courbe elliptique est de la forme

y² + ay = x³ + bx² + cxy + dx + e

où a,b,c,d,e sont des éléments de K. Dans ce cas, l'une des deux simplifications suivantes est aussi applicable:

• y² + cy = x³ + ax + c, où a,b,c sont des éléments de K.

• y² + xy = x³ + ax + b, où a,b sont des éléments de K.

La simplification de la forme générale y² + a₁xy + a₃y = x³ + a₂x² + a₄x + a₆ à la forme de Weierstrass peut se faire par le procédé du changement de variable.

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