Equation eikonale

Équation eikonale

En optique géométrique, l'équation eikonale ou iconale, est l'équation fondamentale^[1] régissant le trajet de la lumière dans un milieu. Elle permet de démontrer toutes les autres lois, telles que les lois de Snell-Descartes et de déterminer les trajectoires des rayons lumineux.

Onde électromagnétique progressive dans un milieu inhomogène

Position du problème

Dans un milieu linéaire local isotrope, mais inhomogène, les composantes spectrales des champs sont données par les équations de Maxwell ; sans sources libres, tous les champs pourront être écrits sous la même forme que le champ électrique :

$\vec{E}\left( \vec{r},t\right) = \vec{E_o}\left( \vec{r} \right) \exp \left( -i \left( \omega t - k_o \, S(\vec{r}) \right) \right)$

où $k_o = \tfrac{\omega}{c}$.

Pour un champ monochromatique donné, il y a une infinité de couples $( \vec{E_o},S )$ possibles. Dorénavant, on ne considère plus que celui tel que la variation de $\vec{E_o}$ soit la plus faible à l'échelle de la longueur d'onde λ_o ; la fonction S correspondante est appelée fonction eikonale (ou iconale).

Approximation fondamentale de l'optique géométrique

L'approximation fondamentale de l'optique géométrique consiste à considérer que les variations relatives des amplitudes, ainsi que des constantes $\varepsilon_r$ et μ_r du milieu, sont très faibles à l'échelle de la longueur d'onde :

$\lambda_o = \frac{2\pi}{k_o}$.

Une analyse d'ordres de grandeur montre que, dans chaque premier membre des équations de Maxwell, le terme comportant k_ogradS est prépondérant, et l'autre négligeable. On en déduit alors facilement la structure de cette onde monochromatique, appelée Onde de l'optique géométrique : les champs sont transverses :

$\vec{B_o} = \overrightarrow\operatorname{grad} S \times \frac{\vec{E_o}}{c}$

La relation de dispersion est remplacée par l'équation de l'eikonale:

$\left( \overrightarrow\operatorname{grad} S \right)^2 = \varepsilon_r \mu_r = n^2$

qui s'écrit encore

$\overrightarrow\operatorname{grad} S = n \, \vec{u}$

où $\vec{u}$ désigne un vecteur unitaire de $\mathbb{C}^3$.

Cette équation ne fait intervenir ni $\vec{E_o}$ ni ω explicitement ce qui permet de l'atteindre par l'intermédiaire du chemin optique

La structure locale de cette onde est analogue à celle d'une onde plane progressive, puisqu'à l'échelle de la longueur d'onde sa phase s'écrit

$\varphi = k_o \, S(\vec{r}) = k_o \left[ S(\vec{r_o}) + \overrightarrow\operatorname{grad}S \cdot \left( \vec{r} - \vec{r_o} \right) \right] \equiv k_o \, S(\vec{r_o}) + nk_o \vec{u} \cdot \left( \vec{r} - \vec{r_o} \right)$

Soit

$\varphi \equiv \vec{k} \cdot \vec{r} + \varphi_o$

d'où découle la simplicité de l'onde de l'optique géométrique, les manipulations mathématiques effectuées étant les mêmes que pour les ondes planes monochromatiques progressives.

Remarques :

• l'équation de l'eikonale reste valable dans les milieux anisotropes, $\vec{u}$ désignant alors la normale aux ondes en un point, et n est l'un des deux indices possibles en ce point, compte-tenu de la direction de $\vec{u}$.
• le champ électrique s'écrivant alors en général $\vec{E}(\vec{r}, t) = \vec{A} \exp\left(i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega_0 t)\right)$ avec $\vec{A} = \vec{E_0} \exp(i\varphi_0)$

Propagation de l'énergie – Notion de rayon lumineux

Pour des raisons expérimentales, on ne s'intéresse en optique qu'au flux d'énergie moyen, calculé à l'aide d'un vecteur de Poynting moyen $\langle \vec{R} \rangle$. Les rayons lumineux sont définis comme étant les lignes du champ $\langle \vec{R} \rangle$, c'est-à-dire les lignes de courant de l'énergie électromagnétique en moyenne. Si $\vec{u} \in \mathbb{C}^3\smallsetminus\mathbb{R}^3$, ou si $\vec{u}$ est réel mais n imaginaire pur, on dit que l'onde est inhomogène (ou évanescente si $n^2 \in \mathbb{R}$ ; dans ce cas, $\langle \vec{R} \rangle$ n'est parallèle ni à $\vec{u'} = \operatorname{Re} \left( \vec{u} \right)$, ni à $\vec{v'} = \operatorname{Re} \left( \vec{v} \right)$ où $\vec{v} = n\, \vec{u}$, ni au plan $\left( \vec{u},\vec{w} \right)$ avec $\vec{w} = \operatorname{Im}\left( \vec{u} \right)$ – mais pour $\vec{v}$ fixé sa direction dépend aussi de $\vec{E_o}$ donc de la polarisation de l'onde inhomogène. En revanche, si $\vec{u}$ est réel en tout point, l'onde est dite homogène, et alors $\langle \vec{R} \rangle$ est parallèle à $\vec{u}$, indépendamment de $\vec{E_o}$ : c'est le miracle de l'optique géométrique : les rayons lumineux sont des lignes du champ $\vec{u}$ (ou $\vec{v}$) et ne dépendent pas des caractéristiques ondulatoires ($\vec{E_o}$ et ω). Pour toute la suite, on considèrera que $\vec{u}$ est réel partout ; on montre que ceci ne peut être réalisé, en général, que si n est réel en tout point.

Propriété des rayons lumineux

Principe de Fermat (1650)

À partir de l'équation de l'eikonale, il est facile de montrer que le chemin optique L entre deux points A et B fixés est minimal dans le cas où il n'existe qu'une seule onde de l'optique géométrique en tout point (et donc un seul rayon associé...). Dans le cas plus général où les rayons des diverses ondes peuvent se croiser, L est seulement stationnaire (ceci se prouverait en utilisant les équations de Lagrange). Un disciple d'Euclide avait déjà deviné ce principe, dans un cas très particulier : celui d'une réflexion sur un miroir plan...

Conséquences immédiates

• Propagation rectiligne de la lumière : dans les cas simples, avec des dioptres ou miroirs séparés par de milieux homogènes, les rayons seront donc constitués de lignes brisées en des points situés sur ces dioptres (ou miroirs), ce qui fait que la stationnarité de L ne sera recherchée que sur cette classe restreinte de courbes ; on peut alors trouver des cas où, pour le rayon, L est maximum sur cette classe, ou stationnaire seulement, ou minimum – mais sur l'ensemble de toutes les courbes allant de A à B fixés, L ne peut jamais être maximum (absolu) pour les rayons.
• Loi du retour inverse... mais l'exemple de la réflexion partielle montre bien que le principe de Fermat ne fait qu'indiquer quels sont les divers trajets possibles pour la lumière, sans préciser comment le flux lumineux se répartit entre eux !

Lois de Snell-Descartes (Harriot, 1598)

La démonstration (par la recherche de l'extremum de L = n₁AI + n₂IB, ou par la continuité de la composante tangentielle de $\vec{v}$ car $\overrightarrow\operatorname{rot} \, \vec{v} = \vec{0}$) débouche tout de suite sur la construction de Descartes.

Notes et références

1. ↑ J.P. Pérez, Optique. Fondements et applications, 5^e édition, Masson, Paris, 1996, page 169.

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