Equation geodesique et symbole de Christoffel

Équation géodésique et symbole de Christoffel

Un système de coordonnées étant donné, si l'on choisit de paramétrer les courbes par la mesure de leur longueur (appelé paramètre canonique), l'équation des géodésiques devient

$\ddot{x}^k = \Gamma^k_{ij} \dot{x}^i \dot{x}^j$

où Γ^k_ij est un symbole de Christoffel. Le point supérieur est la dérivée totale par rapport au paramètre canonique.

Démonstration

Explicitant $\dot{s}$ dans l'équation géodésique

$\frac{\partial \dot{s}}{\partial x^i} - \frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau} \left(\frac{\partial \dot{s}}{\partial \dot{x}^i}\right) = 0$,

on a

$\frac{1}{2 \dot{s}} g_{ij,k} \dot{x}^i \dot{x}^j -\frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau} \left( \frac{1}{\dot{s}} g_{ki}\dot{x}^i \right) = 0$

Paramétrons la trajectoire par sa longueur s, c’est-à-dire posons τ = s. Avec ce choix, on a $\dot{s} = 1$ et l'équation géodésique devient

$\frac{1}{2} g_{ij,k} \dot{x}^i \dot{x}^j -\frac{\mathrm d}{\mathrm ds} \left( g_{ki}\dot{x}^i \right) = 0$

Comme le tenseur métrique dépend de xⁱ mais pas explicitement de $\dot{x}^i$, on a $\tfrac{\mathrm d g_{ki}}{\mathrm d s} = g_{ki,j} \tfrac{\mathrm d x^j}{\mathrm ds}$ et l'équation géodésique prend la forme

$\frac{1}{2} g_{ij,k} \dot{x}^i \dot{x}^j - g_{ki,j}\dot{x}^i \dot{x}^j - g_{ki}\ddot{x}^i = 0$

La dérivée covariante du tenseur métrique étant nulle, on a

$g_{ki,j} + \Gamma^l_{kj} g_{li} + \Gamma^l_{ij} g_{kl} = 0$

et

$g_{ij,k} + \Gamma^l_{ik} g_{lj} + \Gamma^l_{jk} g_{il} = 0$

Ce qui permet d’écrire finalement

$\ddot{x}^k = \Gamma^k_{ij} \dot{x}^i \dot{x}^j$.

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