Equations d'Euler

Équations d'Euler

L'équation d'Euler (établie par Euler en 1755) s'applique dans le cas d'un fluide parfait, c’est-à-dire un fluide non visqueux et sans conductivité thermique. Le fluide peut être incompressible ou compressible. Complétée par d'autres équations tirées de la dynamique des fluides parfaits, elle permet de caractériser un mouvement du fluide en calculant par exemple sa pression motrice.

Une intégration le long d'une ligne de courant de cette équation permet d'obtenir l'équation de Bernoulli.

L'équation d'Euler dérive de la relation fondamentale de la dynamique, appliquée à une particule fluide :

$\sum \vec F=m\vec \gamma$

Faisons le bilan des forces appliquées à un élément de volume :

• les forces de volume $\vec F=\left(\begin{smallmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{smallmatrix}\right)$, proportionnelles à l'élement de volume considéré ;
• les forces de pression, proportionnelles à l'élement de surface considéré ;
• les forces d'inertie, proportionnelles à l'accélération $\textstyle\vec \gamma=\left(\begin{smallmatrix} \gamma_x \\ \gamma_y \\ \gamma_z \end{smallmatrix}\right)$ et au volume du fluide ;

on obtient donc :

$\vec F - \overrightarrow\operatorname{grad} (P)=\rho \vec \gamma$

C'est la forme condensée de l'équation d'Euler.

En développant, on a :

$\rho \vec \gamma = \begin{pmatrix} \rho \gamma_x \\ \rho \gamma_y \\ \rho \gamma_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_x -\frac{\partial P}{\partial x} \\ F_y -\frac{\partial P}{\partial y} \\ F_z -\frac{\partial P}{\partial z} \end{pmatrix}$

Une autre forme de l'équation d'Euler (les équations, dans ce cas) s'écrit :

$\vec \gamma = \begin{pmatrix} \gamma_x \\ \gamma_y \\ \gamma_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\mathrm d{V_x}}{\mathrm dt} \\ \frac{\mathrm d{V_y}}{\mathrm dt} \\ \frac{\mathrm d{V_z}}{\mathrm dt} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial V_x}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} \\ \frac{\partial V_y}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_y}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_y}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_y}{\partial z} \\ \frac{\partial V_z}{\partial t} + v_x \frac{\partial v_z}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_z}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} \end{pmatrix}$

c'est à dire, $\rho \frac{d \vec{v}}{dt} = \rho \big(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla})$ $\vec{v}\big) = - \vec{grad}$ $p + \vec{F}$

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