Escalier De Cantor

Escalier de Cantor

L'escalier de Cantor, ou l'escalier du diable, est le graphe d'une fonction continue $f\,$ sur $[0,1]\,$, telle que $f(0)=0\,$, $f(1)=1\,$, qui est dérivable presque partout, la dérivée étant presque partout nulle.

Quelques rappels d'analyse élémentaire

Soit $f\,$ une fonction continue sur un intervalle $I\subset\mathbb{R}$, de dérivée $f^\prime$. Si $f^\prime$ s'annule sur $I\,$, alors $f\,$ est constante. C'est une conséquence immédiate du théorème des accroissements finis.

L'escalier de Cantor montre que la conclusion est fausse si on suppose seulement que $f^\prime$ s'annule presque partout.

On dispose cependant des résultats suivants :

• Si $f\,$ est continue et si sa dérivée existe et s'annule sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable, alors $f\,$ est constante.
• Si $f\,$ est lipschitzienne et si sa dérivée existe et s'annule presque partout, alors $f\,$ est constante. Il en est de même si $f\,$ est absolument continue.

Construction

Escalier de Cantor

On suit pas à pas la construction de l'ensemble de Cantor $K_3\,$

On prend $f_0(x)=x\,$. La fonction $f_1\,$ est la fonction continue affine par morceaux qui vaut 0 en 0, 1 en 1, et $\frac{1}{2}\,$ sur $[1/3,2/3]\,$

On passe de même de $f_n\,$ à $f_{n+1}\,$ en remplaçant, $f_n\,$, sur chaque intervalle $[u,v]\,$ où elle n'est pas constante, par la fonction linéaire par morceaux qui vaut $\frac{f_n(u)+f_n(v)}{2}$ sur $[\frac{2u}{3}+\frac{v}{3},\frac{2v}{3}+\frac{u}{3}]$

Alors on vérifie que pour tout $x,\vert f_{n+1}(x)-f_n(x)\vert\le 2^{-n}$, ce qui montre que la série de fonctions $\sum_{n=0}^\infty (f_{n+1}-f_n)$ converge uniformément, et donc que la suite $f_n\,$ converge uniformément. La fonction limite $f\,$ est continue, monotone, et l'on a $f(0)=0\,$, $f(1)=1 \,$ comme annoncé. De plus, $f\,$ a une dérivée nulle sur le complémentaire de l'ensemble de Cantor $K_3\,$, puisque ce complémentaire est une réunion d'intervalles sur lesquels $f\,$, par construction, est constante (d'où le nom d'escalier !)

Que nous apprend cet exemple ?

• Il est vrai (mais non trivial), que si $f\,$ est une fonction mesurable bornée sur $\mathbb{R}$, la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ est presque partout dérivable et de dérivée f(x). Mais il est faux que toute fonction presque partout dérivable soit égale à l'intégrale de sa dérivée, même si cette dernière est intégrable. C'est ce que nous enseigne l'escalier de Cantor. Pour avoir des résultats safisfaisant sur cette question, il faut introduire la notion de continuité absolue.
• L'escalier de Cantor est la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle continue qui n'est pas à densité, et qui est même étrangère à la mesure de Lebesgue. En cela aussi, c'est un (contr)exemple très intéressant. On peut exhiber simplement une variable aléatoire réelle X prise au hasard entre 0 et 1 dont la fonction de répartition est l'escalier de Cantor : il suffit de tirer au hasard les chiffres successifs (0, 1 ou 2) du développement en base trois de X de manière un peu spéciale, à savoir par des tirages indépendants équiprobables restreints à 0 ou 2, le chiffre 1 étant exclus.

Voir aussi

Liens internes

• Fonction continue à dérivée nulle sauf sur un ensemble dénombrable
• Fonction lipschitzienne à dérivée nulle presque partout

Lien externe

L'escalier du diable

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