Espace De Sobolev


Espace De Sobolev

Espace de Sobolev

Les espaces de Sobolev sont des espaces fonctionnels. Plus précisément, un espace de Sobolev est un espace vectoriel de fonctions muni de la norme obtenue par la combinaison de la norme norme Lp de la fonction elle-même ainsi que de ses dérivées jusqu'à un certain ordre. Les dérivées sont comprises dans un sens faible, au sens des distributions afin de rendre l'espace complet. Les espaces de Sobolev sont donc des espaces de Banach. Intuitivement, un espace de Sobolev est un espace de Banach ou un espace de Hilbert de fonctions pouvant être dérivées suffisamment de fois (pour donner sens par exemple à une équation aux dérivées partielles) et muni d'une norme qui mesure à la fois la taille et la régularité de la fonction. Les espaces de Sobolev sont un outil très important et très adapté à l'étude des équations aux dérivées partielles. En effet, les solutions d'équations aux dérivées partielles, appartiennent plus naturellement à un espace de Sobolev qu'à un espace de fonctions continues dont les dérivées sont comprises dans un sens classique.

Les espaces de Sobolev doivent leur nom au mathématicien russe Sergei Lvovich Sobolev.

Sommaire

Introduction

Il y a de nombreux critères pour évaluer la régularité d'une fonction. Le critère le plus élémentaire est celui de la continuité. Une notion plus forte de régularité est la differentiabilité. En effet, les fonctions différentiables, sont aussi continues. Enfin, un critère encore plus fort de régularité est la continuité des dérivées partielles (de telles fonctions sont dites de classe C1 — cf. Classe de régularité). Les fonctions différentiables sont importantes dans beaucoup de domaines, en particulier pour les équations différentielles (cas d'une seule variable) ou les équations aux dérivées partielles (cas de plusieurs variables). Cependant, au cours du vingtième siècle, les mathématiciens se sont rendu compte que l'espace C1 (ou C2, etc.) n'était pas le cadre approprié pour étudier les solutions des équations aux dérivées partielles. Les espaces de Sobolev se sont imposés comme l'outil moderne fournissant le cadre adéquat pour la recherche de solutions d'équations aux dérivées partielles.

Définition des espaces de Sobolev

Définition

Soient \Omega \subset \R^n un ouvert quelconque, p un réel tel que 1\leqslant  p\leqslant  \infty et m un entier naturel positif. On définit l'espace de Sobolev Wm,p(Ω) par W^{m, p}(\Omega)=\{u\in L^p(\Omega); D^\alpha u \in L^p(\Omega)  \}α est un multi-indice tel que 0\leqslant  |\alpha| \leqslant  m , Dαu est une dérivée partielle de u au sens faible (au sens des distributions) et Lp désigne un espace de Lebesgue.

Propriétés élémentaires

  • Définissons pour Wm,p la norme suivante :

\| u \|_{W^{m, p}} = \begin{cases} \left( \sum \limits_{0\leqslant | \alpha | \leqslant  m} \| D^{\alpha} u \|_{L^{p}}^{p} \right)^{1/p}, & 1 \leqslant  p < + \infty; 

\\ \max\limits _{0\leqslant | \alpha | \leqslant  k} \| D^{\alpha} u \|_{L^{\infty}}, & p = + \infty; \end{cases}\| . \|_{L^{p}} désigne la norme des espaces de Lebesgue.

Muni de cette norme Wm,p(Ω) est un espace de Banach. Dans le cas où "p" est fini, c'est aussi un espace séparable.

  • On montre aisément que la norme :

\| u \|_{W^{m, p}} = \begin{cases} \sum\limits _{0\leqslant | \alpha | \leqslant  k} \| D^{\alpha} u \|_{L^{p}}, & 1 \leqslant  p < + \infty; \\ \sum\limits _{0 \leqslant  | \alpha | \leqslant  k} \| D^{\alpha} u \|_{L^{\infty}}, & p = + \infty. \end{cases} est une norme équivalente à la précédente. Wm,p(Ω) a donc les mêmes propriétés quelle que soit la norme utilisée. Ces normes sont notées indifféremment \| . \|_{W^{m, p}} ou \| . \|_{m, p}

  • Dans le cas "p" fini, on a la propriété caractéristique suivante :

Wm,p(Ω) est identique à la fermeture de l'ensemble \lbrace u \in C^m(\Omega) ; \left\|u \right\|_{m,p} < \infty \rbrace par rapport à la norme \left\| . \right\|_{m,p} Cm(Ω) designe l'espace de Hölder des fonctions de classe m sur Ω.

Le cas p = 2

Dans le cas "p" = 2, les espaces de Sobolev ont un intérêt particulier car dans ce cas ce sont des espaces de Hilbert. Leur norme est induite par le produit intérieur suivant :  \left( u , v \right)_{m} =\sum \limits _{0 \leqslant \vert \alpha\vert\leqslant m} \left( D^{\alpha} u, D^{\alpha} v\right) , où   \left( u , v \right) = \int_{\Omega} u(x) \overline{v(x)} dx est le produit intérieur dans  L^{2} \left( \Omega \right)  , produit scalaire dans le cas réel, hermitien dans le cas complexe. Dans ce cas, pour désigner l'espace de Sobolev, on utilise une notation spéciale : Hk(Ω) = Wk,2(Ω).

  • De plus, dans le cas où la transformation de Fourrier peut être définie dans  L^{2} \left( \Omega \right)  , alors l'espace Hk(Ω) peut être défini de façon naturelle à partir de la transformée de Fourier.

Par exemple si \Omega = \R^{n}, grâce à l'identité de Parseval, on vérifie aisément que si \widehat{u} est la transformée de Fourier de "u" : H^{m}\left( \R ^{n}\right)=\lbrace u \in L^{2}\left( \R^{n}\right);\; \int_{\R^{n}}\vert\hat{u}\left( \xi\right) \xi^{\alpha}\vert ^{2}d\xi \;<\infty\; pour\; \vert\alpha\vert \leqslant m \rbrace

ou ce qui est équivalent : H^{m}\left( \R ^{n}\right)=\lbrace u \in L^{2}\left( \R^{n}\right);\; \int_{\R^{n}}\vert\hat{u}\left( \xi\right) \vert ^{2}\left( 1+\xi^{2}\right)^{m} d\xi \;<\infty  \rbrace et que : \left( u,v \right)_{m}=\int_{\R^{n}}\hat{u}\left(\xi \right) \overline{\hat{v}\left(\xi \right)} \left(1 + \xi^{2} \right) ^{m} d\xi est un produit hermitien équivalent à celui défini plus haut.

Ou encore si \Omega =\left]0,1\right[on vérifie que : H^m(\left]0,1\right[) = \{ u\in L^2(\left]0,1\right[);\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} (1+n^2 + n^4 + \dotsb + n^{2m}) |\widehat{u}_n|^2 < \infty \}\widehat{u}_n est la série de Fourier de u. On peut aussi utiliser la norme équivalente : \|u\|^2=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} (1 + |n|^{2})^m |\widehat{u}_n|^2.

Là encore le résultat se déduit aisément de l'identité de Parseval et du fait que la dérivation revient à multiplier le coefficient de Fourier par in. On voit qu'une fonction de Hm(Ω) est caractérisée par une décroissance suffisamment rapide de ses coefficients de Fourier.

Espace de Sobolev d'ordre fractionnaire

L'habitude est prise, pour plus de clarté, de différentier la notation de l'ordre d'un espace de Sobolev selon qu'il est entier ou non. Alors que dans le cas entier on note souvent l'ordre avec la lettre "m", dans le cas non-entier, on utilisera la lettre "s", et donc les espaces seront notés : Ws,p ou Hs.

Définition par la méthode d'interpolation complexe

Une première approche pour définir les espaces de Sobolev d'ordre fractionnaire consiste à utiliser la méthode d'interpolation complexe. (Ci-dessous une autre méthode, dite d'interpolation réelle sera utilisée pour la caractérisation des traces des espaces de Sobolev.)

  • Rappels sur l'interpolation complexe.

L'interpolation complexe est une technique d'ordre général qui permet à partir de deux espaces de Banach d'en construire un troisième par interpolation. Plus précisément, soient deux espaces de Banach "X" et "Y" qui sont tous les deux inclus par injection continue dans un autre espace de Banach plus grand, alors pour tout "t" tel que 0\leqslant  t\leqslant  10, on peut construire un espace interpolé noté: [X,Y]T. Les espaces X et Y forment la paire d'interpolation.

Nous rappelons ici quelques théorèmes utiles sur l'interpolation complexe:

Théorème de ré-interpolation : [ [X,Y]a , [X,Y]b ]c = [X,Y]cb+(1-c)a.

Théorème d'interpolation des opérateurs : si {X,Y} et {A,B} sont des paires d'interpolation, et si T est une application linéaire définie sur X + Y dans A + B, telle que T est continue de X dans A et de Y dans B, alors T est aussi continue entre les espaces interpolés, c'est-à-dire de [X,Y]T dans [A,B]T et satisfait l'inégalité d'interpolation suivante : \|T\|_{[X,Y]_t \to [A,B]_t}\leqslant  C\|T\|_{X\to A}^{1-t}\|T\|_{Y\to B}^t.

Le théorème de Riesz-Thorin qui est l'application de ce résultat aux espaces Lp en est l'exemple le plus connu.

  • Définition :

Pour s non entier, compris entre deux entiers l et m, l < s < m, on définit l'espace de Sobolev W^{s,p}=\left[W^{l,p},W^{m,p}\right]_{ \frac{s-l}{m-l}}.

Nous devons vérifier que cette définition est cohérente, ce qui est assuré par le résultat suivant : Théorème: \left[W^{0,p},W^{m,p}\right]_t=W^{n,p} si n est un entier tel que n=tm.

On a ainsi construit de façon cohérente un continuum d'espaces entre les Wm,p. En fait, on utilise cette méthode pour définir les espaces W^{s,p}(\R^n). Pour un domaine quelconque suffisamment régulier, on procède ensuite à partir de W^{s,p}(\R^n) grâce à des opérateurs de prolongement.

Définition par ordre de dérivation fractionnaire

  • On s'intéresse d'abord ici au cas où p=2 \, et \, \Omega=\R^{n}.

Dans ce cas, l'espace de Sobolev H^{s}(\R^n) \; s\geqslant 0, peut être défini grâce à la transformée de Fourier :

H^{s} (\mathbf{R}^{n}) = \left\{ u \in L^{2}( \mathbf{R}^{n} ) \colon   \int_{\mathbf{R}^{n}} ( 1 + | \xi |^{2 } )^{s} | \hat{u} (\xi) |^{2} \, \mathrm{d} \xi < + \infty \right\}.

H^{s}(\R^n) est un espace de Hilbert muni de la norme : \| u \|_{H^{s}}^{2} = \int_{\mathbf{R}^{n}} ( 1 + | \xi |^{2 } )^{s} | \hat{u} (\xi) |^{2} \, \mathrm{d} \xi .

On montre que l'espace obtenu est le même que par la méthode d'interpolation. Cette définition peut être utilisée pour tout domaine sur lequel la transformée de Fourier peut être définie. Pour un domaine quelconque suffisamment régulier, on procède ensuite à partir de H^{s}(\R^n) grâce à des opérateurs de prolongement.

  • Cas où p=2 \, et \,  \Omega \subset \R^{n} quelconque.

On peut alors caractériser les espaces de Sobolev d'ordre fractionnaire Hs(Ω) grâce au produit intérieur donné par : (u, v)_{H^{s} (\Omega)} = (u,v)_{H^{k} ((\Omega)} + \sum_{| \alpha | = k} \int_{\Omega } \int_{\Omega } \frac{( D^{\alpha }u (x) - D^{\alpha }u (y) ) (D^{\alpha }v (x) - D^{\alpha }v (y) )}{| x - y |^{n + 2 t}} \, \mathrm{d} x \mathrm{d} y,

s = k + T, k est un entier tel que 0 < T < 1 et n est la dimension du domaine \Omega \subset \R^{n}. La norme induite est essentiellement l'analogue pour L2 de la continuité au sens de Hölder. Ici encore cette définition est équivalente aux définitions précédentes.

  • Cas où p' est différent de 2 et Ω = ]0,1[.

Dans ce cas, l'égalité de Parseval ne tient plus, mais la dérivation correspond à une multiplication de la transformée de Fourier et peut être généralisée à des ordres non entiers. Dans ce but, on définit un opérateur Dsde dérivation d'ordre fractionnaire s par :

 D^{s}u=\sum_{n=-\infty}^\infty (in)^s\widehat{u}(n)e^{int}

En d'autres mots, il s'agit de prendre la transformée de Fourier, de la multiplier par (in)s et à prendre la transformée de Fourier inverse ( les opérateurs définis par la séquence : transformation de Fourier – multiplication – transformation inverse de Fourier sont appelés des multiplicateurs de Fourier et sont actuellement un sujet de recherches en eux-mêmes ). Cet opérateur nous permet alors de définir la norme de Sobolev de Hs(]0,1[) par : \|u\|_{s,p}=\|u\|_p+\|D^s u\|_p et de définir l'espace de Sobolev Hs(]0,1[) comme l'espace des fonctions pour lesquelles cette norme est finie.

Traces et Opérateurs de prolongement

Cette notion de trace n'a aucun lien avec la notion de trace d'une matrice.

Définition de la trace d'une fonction d'un espace de Sobolev

  • Cas des espaces Hs

Soit s > \frac{1}{2}. Si Ω est un ouvert dont la frontière \partial \Omega est suffisamment régulière, alors on peut définir un opérateur de trace "T" qui à une fonction u \in H^{s}(\Omega) lui associe sa trace, sa restriction sur la frontière de Ω : Tu=u|_{\partial \Omega } Une hypothèse simple qui satisfasse la condition de régularité est que \partial \Omega soit uniformément Cm pour m \geqslant s . Ainsi défini, cet opérateur de trace "T" a pour domaine de définition Hs(Ω) et son image est image est précisément H^{s-1/2}(\partial \Omega). En fait, "T" est d'abord défini pour les fonctions indéfiniment dérivables et, ensuite, sa définition est étendue par continuité à tout l'ensemble Hs(Ω). De façon informelle, on peut dire que l'on perd en régularité "une demi-dérivée" en prenant la trace d'une fonction de Hs(Ω).

  • Cas des espaces Ws,p, pour "p" différent de 2

Définir la trace d'une fonction de Ws,p est un travail considérablement plus difficile et demande d'utiliser la technique d'interpolation réelle. Les espaces images obtenus sont des espaces de Besov. De façon informelle, on peut dire que l'on perd en régularité 1/"p"ème de dérivée en prenant la trace d'une fonction de Ws,p(Ω).

Opérateur de prolongement

Soit un ouvert \Omega \subset \R^{n} suffisamment régulier ( par exemple Ω est borné et sa frontière est localement Lipschitz ), alors il existe un opérateur de prolongement P qui applique les fonctions définies sur Ω en fonctions définies sur Rn de telle sorte que :

  1. Pu(x) = u(x) pour presque tout x de Ω et
  2. P est un opérateur continu de Wm,p(Ω) dans W^{m,p}({\mathbb R}^n), pour tout  1 \leqslant  p\leqslant  \infty et tout entier m.

P est appelé opérateur de prolongement de Ω. Comme nous l'avons vu ci-dessus, les opérateurs de prolongement sont utiles pour définir les espaces Ws,p(Ω) et Hs(Ω). En effet, une fois W^{s,p}({\mathbb R}^n) et H^{s}({\mathbb R}^n) définis, on pose alors W^{s, p}(\Omega) =\{u\in L^p(\Omega); Pu\in W^{s,p}({\mathbb R}^n)   \} et H^{s}(\Omega) =\{u\in L^2(\Omega); Pu\in H^{s}({\mathbb R}^n)   \}

Fonctions nulles sur la frontière et extension par zéro

Soit un ouvert \Omega \subset \R^{n} et soit C_{c}^{\infty }(\Omega) ( parfois aussi noté \mathcal{D}(\Omega) ) , l'espace des fonctions indéfiniment dérivables et à support compact dans Ω. Par définition, on note W^{s,p}_{0}(\Omega) (respectivement H^{s}_{0}(\Omega) ) la fermeture de C_{c}^{\infty }(\Omega) pour la norme de Ws,p(Ω) ( respectivement, celle de Hs(Ω)).

Théorème : Soit un ouvert \Omega \subset \R^{n} \, C^{m} régulier, m\leqslant  s et soit T' l'opérateur linéaire qui à u \in H^s(\Omega) fait correspondre : \left.\left(u,\frac{du}{dn}, \dots, \frac{d^m u}{dn^k}\right)\right|_{\partial \Omega} où d/dn est la dérivée normale à \partial \Omega, et m est le plus grand entier inférieur à s. Alors H^s_0(\Omega) est précisément le noyau de T.

Si u\in H^s_0(\Omega), de façon naturelle, on peut définir son extension par zéro en dehors de Ω notée \tilde u \in L^2({\mathbb R}^n) de la façon suivante : \tilde u(x)=u(x) si  x \in \Omega , et 0 sinon.

Théorème : Soit s > ½. L'application qui associe \tilde u à u est continue de Hs(Ω) dans H^s({\mathbb R}^n) si et seulement si s n'est pas de la forme n + ½ pour un entier n.

Quand Ω  a une frontière régulière, H^1_0(\Omega) peut être décrit comme l'espace des fonctions de H1(Ω) qui s'annulent au sens des traces. En dimension 1 ( n = 1), si Ω = ]a,b[ est un intervalle borné, alors H^1_0(]a, b[) est l'ensemble des fonctions u continues sur [a,b] de la forme : u(x) = \int_a^x f'(t) \, \mathrm{d}t, \quad x \in [a, b] où la dérivée généralisée u' \in L^{2}(]a,b[) et a une intégrale nulle de telle sorte que u(a) = u(b) = 0.

Si Ω  est borné, l'inégalité de Poincaré dit qu'il existe une constante C = C(Ω) telle que \int_\Omega | u|^2 \le C^2 \, \int_\Omega |\nabla u|^2, \quad u \in H^1_0(\Omega).

Lorsque Ω est borné, l'injection de H^1_0(\Omega) dans L2(Ω) est compacte, ce qui joue un rôle dans l'étude du problème de Dirichlet, et dans le fait qu'il existe une base orthonormée de L2(Ω) formée de vecteurs propres de l'opérateur de laplace (avec des conditions aux limites de Dirichlet).

Espaces de Sobolev sur les variétés

Considérons une variété riemannienne (M,g) et notons \nabla la connexion de Levi-Cevita.

Définition

Notons Cm,p(M) l'espace des fonctions u:M\rightarrow \mathbb{R} de classe Cm telles que |\nabla ^l u|\in L^p(M) pour 0\leq l\leq k. L'espace de Sobolev Wm,p(M) est la complétion de Cm,p(M) pour la norme :

 \|u\|_{m,p}=\sum_{l=0}^m\|\nabla ^l u\|_p

Cette définition est cohérente avec celles données plus haut. En effet, un ouvert Ω de \mathbb{R}^n est muni de la métrique riemannienne induite par la structure euclidienne naturelle de \mathbb{R}^n.

Théorèmes de densité

  • Pour une variété riemannienne complète, les fonctions C^{\infty} à support compact sont denses dans W1,p(M) pour tout 1\leq p<\infty .
  • Pour une variété riemannienne complète de rayon d'injectivité δ > 0 et de courbure bornée, les fonctions C^{\infty} à support compact sont denses dans W1,p(M) pour tout 1\leq p<\infty .

Théorème de plongement de Sobolev

Article principal : Inégalité de Sobolev.

Soient s un réel positif, et p et q des réels réel tels que  1 \leqslant  p \, , \, q \leqslant  \infty  . Nous noterons Ws,p l'espace de Sobolev d'ordre s d'une variété riemannienne compacte de dimension n.

Le théorème de plongement de Sobolev dit que si s \geqslant m et s-\frac{n}{p} \geqslant m - \frac{n}{q}  alors W^{s,p}\subset W^{m,q} et l'injection est continue. De plus si s > m et  s-\frac{n}{p} > m - \frac{n}{q}  alors l'injection est compacte ( ce deuxième point est parfois appelé le théorème de Rellich-Kondrakov ).

Les fonctions de W^{m,\infty} ont toutes leur dérivées d'ordre inférieur à m, continues, et donc le théorème de plongement de Sobolev donne, en autre, une condition pour que certaines dérivées soient continues. De façon informelle, ces injections disent que pour convertir une estimation Lp en une estimation L^{\infty} ( ce qui signifie que la fonction est bornée ) coûte 1/pème de dérivée par dimension.

Pour s > n/p et Ωcompact, l'espace Ws,p(Ω) ne contiendra que des fonctions continues. L'influence de la dimension peut être facilement vérifiée par exemple en utilisant les coordonnées sphériques avec la fonction définie sur la sphère unité de dimension n, notée Bn, par u(x)=\frac{1}{|x|^{\alpha}}. On vérifie aisément que u \in W^{s,p}(B^{n}) si et seulement si \alpha < \frac{n}{p} - k.. De façon intuitive, plus la dimension est grande, moins l'explosion de u en 0 est sensible.

Des variantes de ce théorème de plongement existent pour des variétés non-compactes comme par exemple Rn.

Exemples d'espaces de Sobolev

Ws,∞

L'espace de Sobolev W^{s,\infty} est par définition identique à l'espace de Hölder Cns = n + α et 0< \alpha\leqslant  1. W^{s,\infty}(I) est l'espace des fonctions lipschitziennes sur I, pour tout intervalle I.de \R Tous les espaces W^{s,\infty} sont des algèbres normées, c'est à dire que le produit de deux éléments est aussi une fonction de même espace de Sobolev. ( Ce n'est bien sûr pas le cas si p < \infty )

Wk,p(S1)

Nous sommes ici dans le cas d'une variété de dimension 1, le cercle unité, noté S1. Dans ce cas, l'espace de Sobolev Ws,p est défini comme étant le sous-ensemble des fonctions u de Lp telles que u et ses dérivées au sens faible jusqu'à un ordre k ont une norme Lp, pour p donné, p \geqslant  1. Comme nous sommes en dimension 1, cela revient à dire que les k-1 premières dérivées de la fonction u, notées uk − 1, sont dérivables presque partout et sont égales à l'intégrale au sens de Lebesgue de leur dérivée. Cet espace de Sobolev admet une norme naturelle : \|u\|_{k,p}=(\sum_{i=0}^k \|u^{(i)}\|_p^p)^{1/p} = (\sum_{i=0}^k \int |u^{(i)}(t)|^p\,dt )^{1/p}. L'espace Wk,p(S1), équipé de cette norme \|\cdot\|_{k,p}, est un espace de Banach. De fait, il suffit de prendre en compte le premier et le dernier terme de la somme, ce qui veut dire que la norme  : \|u^{(k)}\|_p + \|u\|_p est équivalente à la norme ci-dessus.

W1,1(Ω)

  • Cas de la dimension 1

Ω = ]0,1[ et W1,1(]0,1[) est l'espace des fonctions absolument continues sur l'intervalle]0,1[.

  • Cas de la dimension n

En dimension supérieure à 1, il n'est plus vrai que W1,1 contiennent seulement des fonctions continues. Par exemple, \frac{1}{|x|} \in W^{1,1}(B^{3})B3 is est la sphère unité de \R^{3}.

H1(Ω) et H10(Ω)

H^1(\Omega)=\{u\in L^2(\Omega); \forall i =1...n, \frac{\partial u}{\partial x_i}\in L^2(\Omega) \} .

Muni du produit scalaire ((u,v))_1 = 	\int_{(\Omega)} (uv + \sum_{i=1}^N  \frac{\partial u}{\partial x_i} \frac{\partial v}{\partial x_i} \,) dm, H1(Ω) est un espace de Hilbert

H_{0}^1(\Omega) est le sous-espace vectoriel de H1(Ω) obtenue par la complétion des fonctions C^{\infty}(\Omega) à support compact dans Ω.

Références

  • R.A. Adams, J.J.F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press, ISBN 0-12-044143-8.
  • L.C. Evans, 1998. Partial Differential Equations. American Mathematical Society.
  • Nikol'skii S.M., Imbedding theorems, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, (2001), ISBN 978-1556080104
  • Nikol'skii S.M., Sobolev space, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, (2001), ISBN 978-1556080104
  • S.L. Sobolev, On a theorem of functional analysis Transl. Amer. Math. Soc. (2) , 34 (1963) pp. 39–68 Mat. Sb. , 4 (1938) pp. 471–497
  • S.L. Sobolev, Some applications of functional analysis in mathematical physics , Amer. Math. Soc. (1963)
  • Stein E., Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions Princeton Univ. Press, 1970, ISBN 0-691-08079-8.
  • Tartar Luc, An Introduction to Sobolev Spaces and Interpolation, Springer, (2007), ISBN 978-3-540-71482-8.
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