Espace Semimétrique

Espace Semimétrique

Espace semimétrique

En mathématiques, un espace semimétrique est un cas particulier d'espace pramétrique, qui ne possède que deux des trois propriétés d'un espace métrique, ne nécessitant pas la vérification de l'inégalité triangulaire.

Définition

Un espace semimétrique \left( M,\mathrm d \right) est la donnée d'un ensemble M est d'une fonction \mathrm d : M \times M \to \R^{+}, appelée fonction semimétrique (ou semimétrique), qui vérifie les conditions suivantes :

  • \mathrm d \left(x,y \right)\ge 0 (positivité, héritée) ;
  • \mathrm d \left(x,y\right) = 0\mbox{ si et seulement si } x=y (indiscernabilité) ;
  • \mathrm d \left(x,y\right)=\mathrm d \left(y,x\right) (symétrie)

Si la semimétrique vérifie l'inégalité triangulaire, alors c'est une métrique, et l'espace associé devient espace métrique.

Notes et références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Semimetric space ».

Bibliographie

  • A.V. Arkhangelskii, L.S.Pontryagin : General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-18178-4
  • L.A. Steen, J.A.Seebach, Jr. : Counterexamples in Topology, (1970) Holt, Rinehart and Winston, Inc..
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