Espace Tensoriel

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Soit E un module sur un anneau commutatif unitaire A. On appelle tenseur p fois contravariant et q fois covariant sur E tout élément du produit tensoriel $\bigotimes_{i=1}^p E \otimes \bigotimes_{j=1}^q E^*$, où E ^* est le module dual de E.

Soit u un automorphisme du A-module E, ^tu est le morphisme contragrédient de E ^* , c'est l'automorphisme défini par ${}^t u(\varphi) = \varphi \circ u$. On peut définir une action du groupe linéaire GL(E) sur $\bigotimes_{i=1}^p E \otimes \bigotimes_{j=1}^q E^*$ par :

$\begin{matrix}u \cdot x = & \underbrace{(u \otimes \cdots \otimes u} & \otimes & \underbrace{{}^t u \otimes \cdots \otimes {}^t u)}(x) \\ & p & & q \end{matrix}$

On appelle espace tensoriel sur E tout sous-module H de $\bigotimes_{i=1}^p E \otimes \bigotimes_{j=1}^q E^*$ stable par la loi externe $(u,x) \mapsto u \cdot x$.

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