Espace Vectoriel Symplectique

Espace vectoriel symplectique

En algèbre un espace vectoriel devient symplectique quand on le munit d'une forme symplectique, c'est-à-dire une forme bilinéaire antisymétrique et non dégénérée. L'étude de ces espaces vectoriels présente quelques ressemblances avec l'étude des espaces préhilbertiens réels puisqu'on y définit également la notion d'orthogonalité. Mais il y a de fortes différences, ne serait-ce que parce que tout vecteur est orthogonal à lui-même.

Les espaces vectoriels symplectiques servent de modèles pour définir les variétés symplectiques, étudiées en géométrie symplectique. Ces dernières sont le cadre naturel de la mécanique hamiltonienne.

Un espace vectoriel préhilbertien complexe est automatiquement muni d'une structure symplectique en tant qu'espace vectoriel réel. En termes de variétés, l'analogue est la notion de variété kählérienne.

Définition

Soit un espace vectoriel V. Une forme symplectique sur V est une forme bilinéaire ω : V × V → R vérifiant les propriétés suivantes

• antisymétrie: ω(u, v) = −ω(v, u) pour tous vecteurs u, v
• non-dégénérescence: si u est tel que ω(u, v) = 0 pour tout v, alors u = 0.

Lorsque ω(u, v) = 0, les vecteurs u et v sont dits orthogonaux. Pour tout vecteur v de V on observe notamment la propriété ω(v,v)=0.

Dimension de l'espace vectoriel

Si V est de dimension finie et si on le munit d'une base, ces conditions se transcrivent sur la matrice représentative de la forme bilinéaire ω : il faut qu'elle soit antisymétrique et inversible.

On sait que le déterminant d'une matrice antisymétrique d'ordre impair est nul, donc cela impose que la dimension de l'espace est paire.

Remarque : la notion de matrice représentative d'une forme symplectique n'est pas identique à la notion de matrice symplectique.

L'espace symplectique standard

L'espace symplectique de référence est l'espace R²ⁿ muni de la forme symplectique de matrice

$\omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}$

où I_n désigne la matrice identique de taille n × n. En termes de vecteurs de base,

$(e_1, \ldots, e_n, f_1, \ldots, f_n)$:

$\omega(e_i, f_j) = -\omega(f_j, e_i) = \delta_{ij}\,$

$\omega(e_i, e_j) = \omega(f_i, f_j) = 0\,$.

Il y a en quelque sorte des directions couplées : chaque e_i est orthogonal à tous les vecteurs de base sauf f_i.

Une variante du procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt permet de montrer que tout espace vectoriel symplectique de dimension finie possède une telle base, à laquelle on donne en général le nom de base de Darboux.

Références

• Ralph Abraham et Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London (ISBN 0-8053-0102-X).

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