Espace bidual

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Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, où K désigne un corps commutatif. On définit l'espace bidual de l'espace vectoriel E comme étant l'espace dual E ^{* *} de l'espace dual E ^* de E.

Il existe une application linéaire canonique i de E dans son bidual, associant à un vecteur x de E la forme linéaire x ^{* *} sur E ^* définie par x ^{* *} (h) = h(x) pour toute forme linéaire h sur E. En utilisant le lemme de Zorn, on démontre que cette application i est toujours injective. Lorsque l'espace vectoriel E est de dimension finie, i est un isomorphisme et le bidual est canoniquement isomorphe à l'espace vectoriel E ce qui permet en pratique de les identifier.

La construction de i est fonctorielle dans le sens suivant. Pour toute application linéaire $f : E\to F$, on a l'application duale $f^{*}: F^*\to E^*$ et donc une application biduale $f^{**}: E^{**}\to F^{**}$. Alors les applications $i_E : E\to E^{**}$ et $i_F : F\to F^{**}$ vérifient i_Ff = f ^{* *} i_E. Moralement, un isomorphisme fonctoriel est compatible avec toute opération linéaire. La fonctorialité est plus précise que la 'canonicité'. La fonctorialité pour les isomorphismes f signifie indépendance vis-à-vis du choix d'une base.

En dimension infinie, il est facile de montrer que i n'est jamais un isomorphisme. Le théorème d'Erdős-Kaplansky implique qu'il n'existe même aucun isomorphisme entre E est son bidual.

Toutefois, lorsque E est un espace vectoriel topologique, on prendra garde à l'existence d'une autre notion de dualité (puis de bidualité), qui prend en compte la structure supplémentaire ; on se réfèrera à l'article Dual topologique, et plus spécifiquement à la section intitulée « Bidual (topologique) ».