Espace de Lebesgue

Espace Lp

En mathématiques, les espaces L^p sont des espaces de fonctions dont la puissance p-ième de la fonction est intégrable, au sens de Lebesgue.

Les espaces L^p sont très utilisés en analyse (et particulièrement en analyse fonctionnelle), puisqu'ils n'imposent aux fonctions manipulées qu'une régularité relativement faible (l'intégrabilité), sans par exemple demander de la continuité ou de la dérivabilité.

Définition formelle

Avant de définir les espaces L^p, on définit généralement les espaces $\mathcal L^p$ (qui ne sont cependant presque pas utilisés en dehors de cette définition).

Espaces L^p

Pour tout réel p supérieur ou égal à 1, l'espace $\mathcal L^p(X,A,\mu)$ est l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles (ou complexes selon les choix d'auteur), définies et mesurables sur l'espace mesuré (X,A,μ) et dont la p-ième puissance est μ-intégrable. On définit $\|\cdot\|_p$ comme :

$\|f\|_p = {\left[\int_X|f|^p \,d\mu\right]}^{1/p}$.

Autrement dit,

$\mathcal L^p(X,A,\mu) = \left\{ f:X\rightarrow\mathbb K ; \mbox{ f mesurable et } \|f\|_p < +\infty \right\}$

Cet espace est un espace vectoriel semi-normé car deux fonctions qui ne diffèrent que d'un ensemble de mesure nulle ont la même semi-norme $\|\cdot\|_p$.

L'espace L^p(X,A,μ) est ensuite défini comme l'espace vectoriel quotient de $\mathcal L^p(X,A,\mu)$ par la relation d'équivalence « f ~ g » ssi « f et g sont égales presque partout ». Ainsi, $\|\cdot\|_p$ est une norme sur L^p(X,A,μ).

Dans la théorie de Riemann, l'espace L^p(R) se définit par un procédé de complétion.

Espace L^∞

Article détaillé : Espace L∞.

L'espace $\mathcal L^\infty(X,A,\mu)$ est défini comme l'espace vectoriel des fonctions μ-essentiellement bornées (c'est-à-dire les fonctions bornées presque partout).

Ensuite, l'espace $L^\infty(X,A,\mu)$ est l'espace vectoriel quotient de $\mathcal L^\infty(X,A,\mu)$ par la relation d'équivalence « f ~ g » ssi « f et g sont égales presque partout ».

Exemples

Si X est l'ensemble N des entiers naturels, muni de la tribu grossière, et que μ est la mesure de comptage, l'espace L^p(X,A,μ) n'est autre que l'espace l^p(N) des suites réelles dont la p-ième puissance est sommable.

Avec X = R, A la tribu des boréliens et μ la mesure de Lebesgue

• la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ définie sur $[1,+\infty[$ est dans L², mais pas dans L¹ ;
• la fonction $1_\Q$, définie sur R, qui vaut 1 sur les rationnels et 0 ailleurs, est dans $L^\infty$ et est égale, dans $L^\infty$, à la fonction constante 0 ; du fait que les rationnels sont de mesure nulle dans R.

Propriétés

• Les espaces L^p (pour p ≥ 1) et $L^\infty$ sont des espaces de Banach et l'espace L² est un espace de Hilbert lorsqu'on le munit du produit scalaire $(f,g) = \int_X f \bar g \,d\mu$.
• En général, si $p \neq q$, on n'a ni L^p inclus dans L^q, ni L^q inclus dans L^p.

  Cependant si la mesure est finie (comme en probabilités par exemple), alors pour p < q, L^q est inclus dans L^p.

  D'autre part s'il existe ε > 0 tel que toute partie non vide de X est de mesure plus grande que ε, pour p < q, L^p est inclus dans L^q.

Espaces duals

Pour 1 < p < +∞, l'espace dual de L^p est L^q, où q est défini de façon que 1/p + 1/q = 1.

Voir aussi

• Espace L¹
• Espace L²
• Espace L^∞
• Espace de suites l^p
• Espace de Sobolev

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