Espace lisse

Définition

Un espace vectoriel normé $(X, \Vert .\Vert)$ est dit lisse si pour tout $u\in X\setminus\{0\}$ et tout $v\in X$ la fonction

$\varepsilon\to \Vert u+\varepsilon v\Vert$

est dérivable en 0.

Exemples

• L'espace $\mathbb{R}$ muni de la valeur absolue est lisse.
• Tout espace préhilbertien est lisse.

Preuve

Soit $(H,\Vert.\Vert)$ un espace préhilbertien avec $\Vert . \Vert=\sqrt{(.|.)}$.

Pour tout $u\in H\setminus\{0\}$, tout $v\in H$ et tout $\varepsilon > 0$ on a

$\frac{\Vert u+\varepsilon v\Vert-\Vert u\Vert}{\varepsilon}=\frac{\Vert u+\varepsilon v\Vert ^2-\Vert u\Vert ^2}{\varepsilon(\Vert u+\varepsilon v\Vert+\Vert u\Vert)}=\frac{\varepsilon^2\Vert v\Vert ^2+2\varepsilon (u|v)}{\varepsilon(\Vert u+\varepsilon v\Vert+\Vert u\Vert)}=\frac{\varepsilon\Vert v\Vert ^2+2 (u|v)}{\Vert u+\varepsilon v\Vert+\Vert u\Vert}$

où l'on a utilisé les propriétés de bases d'un produit scalaire.

On a alors

$\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{\Vert u+\varepsilon v\Vert-\Vert u\Vert}{\varepsilon}=\frac{(u|v)}{\Vert u\Vert}\in\mathbb{R}$

 

• Soit Ω un ouvert de $\mathbb{R}^N$ et μ une mesure positive sur Ω. Pour $1<p<\infty$ l'espace L^p(Ω,μ) est lisse.

• L'espace $L^\infty([0,1],\lambda)$, où λ désigne la mesure de Lebesgue, n'est pas lisse.