Extension Finie

Extension finie

En mathématiques, et plus précisément en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, une extension finie sur un corps K, est un corps qui, en tant qu'espace vectoriel sur K est de dimension finie.

Motivation

De même qu'en algèbre linéaire, la théorie de Galois est largement plus simple en dimension finie qu'en dimension infinie.

Ce cadre suffit à bien des applications. C'est celui de l'inventeur de la théorie Évariste Galois (1811 1832). On peut citer par exemple la théorie des équations algébriques avec le théorème d'Abel qui donne une condition nécessaire et suffisante pour la résolution d'une équation polynômiale. Les problèmes géométriques datant de l'antiquité comme la duplication du cube, la trisection de l'angle ou la catégorisation des polygones réguliers constructibles à la règle et au compas ont été résolus par Pierre-Laurent Wantzel (1814 1848) dans le cadre des extensions finies. On peut aussi citer un grand nombre d'applications en théorie des nombres comme la théorie de Ernst Kummer (1810 1893) qui permet d'établir le grand théorème de Fermat pour un vaste ensemble de valeurs du paramètre.

Ce contexte est encore un champ de recherche ouvert, la théorie de Galois inverse par exemple, qui cherche à partir d'un groupe donné à trouver un polynôme ayant ce groupe pour groupe de Galois.

Néanmoins, il existe aussi un large champ mathématique dont l'objet d'étude est celui des extensions infinies. Le premier exemple historique est associé à la quadrature du cercle. Ferdinand von Lindemann (1852 1939) montre en 1882 qu'aucune extension finie à coefficients dans le corps des nombres rationnels ne peut contenir π. Une autre théorie, qui représente un vaste travail durant le XX^e siècle, est celui de la théorie des corps de classe. Elle est ouverte par David Hilbert (1862 1943) et traite essentiellement des extensions infinies.

Exemples

Un corps de rupture d'un polynôme c’est-à-dire une extension simple générée par une des racines du polynôme possède la propriété d'être toujours fini. Deux exemples de cette nature sont proposés dans l'article Indéterminée.

Un corps de décomposition d'un polynôme c’est-à-dire la plus petite extension algébrique contenant toutes les racines d'un polynôme est fini.

Le théorème de l'élément primitif utilise comme hypothèse le fait que l'extension doit être finie.

Dans le cas d'une extension de Galois l'extension est finie si et seulement si le cardinal du groupe de Galois est fini. Dans ce cas, la dimension de l'extension est égale au cardinal du groupe.

Contre exemples

Il existe des extensions algébriques qui ne sont pas finies, par exemple la clôture algébrique du corps des nombres rationnels.

La clôture algébrique d'un corps fini n'est jamais une extension finie.

D'autres clôtures ne sont pas finies, par exemple la clôture quadratique du corps des nombres rationnels (cf tour d'extension quadratique).

Enfin, les extensions transcendantes ne sont jamais finies. Une extension transcendante est une extension qui contient au moins un élément qui n'a pas de polynôme minimal.

Références

R. et A. Douady Algèbre et théories galoisiennes Cedic/Fernand Nathan 1978

S. Lang Algebre Dunod 2004

P. Samuel Théorie algébrique des nombres Hermann Paris 1971

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