Facteur (mathématiques)

Facteur (mathématiques)
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En mathématiques, un facteur est l'un des éléments constitutifs d’un produit.

Par exemple le produit 2×3 comporte deux facteurs 2 et 3, ou encore 3×7×12 admet 7 comme facteur.

Mettre en facteurs, décomposer en facteurs ou factoriser un nombre ou une expression algébrique, c'est en rechercher les facteurs, s'ils existent.

Par définition, un nombre premier ne peut être factorisé, puisqu'il comporte comme seuls diviseurs lui-même et 1. Un problème important, objet de nombreuses recherches aussi bien en mathématiques qu'en algorithmique est la décomposition d'un nombre en facteurs premiers ; ce problème a en particulier des applications en cryptographie.

Dans une expression algébrique, factoriser, c'est utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, pour transformer l’expression en un produit : a, b et c étant donnés, la relation

a×b + a×c = a×(b + c)

permet de mettre a en facteur.

Plus généralement, étant donné a1, a2, …, an, a, la relation a×a1 + a×a2 + … + a×an = a×(a1 + a2 + … + an) permet de mettre a en facteur. a est appelé facteur commun.

Exemple
Dans l'expression :
A = (x − 2)(3x + 5) + (2x + 7)(2 − x)
on peut mettre (x - 2) en facteur, soit :
A = (x − 2)[(3x + 5) − (2x + 7)]
A = (x − 2)(x − 2)
A = (x − 2)2

Pour factoriser, les identités remarquables peuvent être d'une grande utilité.

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