Factorisation (mathématiques élémentaires)

Factorisation

 Ne doit pas être confondu avec la factorisation en informatique.

En mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit. Cette transformation peut se faire suivant différentes techniques détaillées ci-dessous.

Les enjeux de la factorisation sont très divers : à un niveau élémentaire, le but peut être de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation produit-nul, ou la simplification d'une écriture fractionnaire ; à un niveau intermédiaire, la difficulté algorithmique présumée de la factorisation des nombres entiers en produit de facteurs premiers est à la base de la fiabilité du cryptosystème RSA.

Définition et techniques de base

La factorisation d'une expression s'entend dans un domaine muni de deux lois opératoires ; typiquement, les nombres réels munis de l'addition et de la multiplication ; plus généralement, l'article se place dans le cadre d'un anneau commutatif. Une forme factorisée d'une expression est une forme où les dernières opérations (correspondant à la racine dans une ecriture sous forme d'arbre) en jeu sont toutes des multiplications.

Reconnaissance d'un facteur commun

Lorsqu'un élément apparaît en facteur dans au moins deux termes d'une somme, tous ces termes peuvent être remplacés globalement par un seul produit de l'élément commun avec la somme de ses différents facteurs. Ce procédé s'appuie sur la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.

Facteur commun — Si a, b et c sont trois éléments d'un anneau, alors

ab + ac = a(b + c)

Par exemple, avec des nombres entiers :

$4 \times 7 + 4 \times 12 = 4(7 + 12)$

$5 \times 11 + 3 \times 11 = (5 + 3) \times 11$

3a + 21 = 3(a + 7)

Identités remarquables

Article détaillé : Identité remarquable.

Diverses identités remarquables permettent de factoriser des expressions algébriques :

a² − b² = (a + b)(a − b)

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² − 2ab + b² = (a − b)² = (b − a)²

1 − xⁿ = (1 − x)(1 + x + x²... + x^{n − 1})

En arithmétique

Des entiers

Article détaillé : décomposition en produit de facteurs premiers.

Le théorème fondamental de l'arithmétique indique que tout entier naturel supérieur ou égal à deux peut être factorisé en produit de nombres premiers. Cette décomposition en produit de facteurs premiers pour les entiers est la « meilleure » factorisation possible, qui permet d'effectuer de nombreux calculs : simplifications de fractions, détermination de PGCD, PPCM, racines, etc.

Article connexe : Anneau factoriel.

Des polynômes

La connaissance des racines d'un polynôme permet la factorisation de ce polynôme :

Théorème (Racine et factorisation d'un polynôme) Soit P un polynôme de degré n. a est une racine de P (c'est-à-dire que P(a)=0) si et seulement si il existe un polynôme Q de degré n-1 tel que P(x)=(x-a)Q(x).

Pour déterminer la limite à l'infini d'une fonction polynôme réelle de la variable réelle, on peut factoriser par le monôme de plus haut degré. Cela démontre que la limite de la fonction polynôme en plus l'infini (ou moins l'infini) est celle de son monôme de plus haut degré.

En théorie des ensembles

Il est possible d'effectuer une opération analogue à la factorisation pour d'autres opérations que la multiplication, telles les opérations ensemblistes d'intersection et d'union qui sont distributives l'une par rapport à l'autre, ou encore l'addition par rapport au maximum dans le semi-anneau (R, max, +).

Annexes

Voir « factorisation » sur le Wiktionnaire.

Articles connexes

• Développement (Dans une certaine mesure, il s'agit de l'opération inverse de la factorisation.)

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