Faisceau d'hyperplans

Faisceau de droites

En géométrie projective, un faisceau de droites est un ensemble de droites passant par un point.

En géométrie affine, on distinguera un ensemble de droites parallèles (le point commun est à l'infini) et un ensemble de droites passant par un point.

On peut également définir dans un espace affine de direction $\overrightarrow E$, un faisceau d'hyperplan comme une famille d'hyperplans, de rang deux.

Ainsi il existe deux hyperplans H₁ et H₂ d'équation f₁(M) = 0 et f₂(M) = 0 tels que tout hyperplan du faisceau ait une équation de la forme (λf₁ + μf₂)(M) = 0. On parle alors d'un faisceau de base H₁ et H₂.

Cas parallèle

Si H₁ et H₂ ont la même direction ($\ker\phi,\,\, \phi$ étant une forme linéaire sur $\overrightarrow E$), il en sera de même de H.

Réciproquement, tout hyperplan de direction kerφ admet une équation de la forme (λf₁ + μf₂)(M) = 0.

En effet, on aura par exemple $f_1(M)= \phi(\overrightarrow{OM})+a,\quad f_2(M)=\phi(\overrightarrow{OM})+b,\quad f(M)=\phi(\overrightarrow{OM})+c$ où $a,b,c\in\Bbb R.$ Mais il existe toujours $\lambda\in\Bbb R$ tel que c = λa + (1 − λ)b d'où il résulte f = λf₁ + (1 − λ)f₂.

Cas sécant

Si les parties linéaires de f₁ et f₂ ne sont pas proportionnelles, $H_1\cap H_2$ est de dimension n-2. Tout hyperplan contenant $H_1\cap H_2$ appartient alors au faisceau de base H₁,H₂.

Soit en effet kerφ₁, kerφ₂, kerφ les directions respectives de H₁,H₂,H. Comme $\ker\phi_1\cap\ker\phi_2\subset \ker\phi$, on a φ = λφ₁ + μφ₂.

(On peut prouver ce résultat d'algèbre linéaire en considérant l'application qui à $u\in\overrightarrow E$ associe le triplet $(\phi_1(u),\phi_2(u),\phi(u))\in\Bbb R^3$; son noyau est de dimension n-2 donc elle est de rang 2 d'après le théorème du rang. Ainsi φ₁,φ₂,φ sont liés et comme φ₁,φ₂ sont indépendants le résultat en découle.)

Cas particuliers

C'est bien entendu le cas des droites parallèles dans le plan, celui des droites passant par un point (défini comme intersection de deux droites qui fournissent alors une base de ce faisceau).

C'est encore le cas des plan parallèles de l'espace ou des plans contenant une droite donnée (définie comme intersection de deux plans qui fournissent une base du faisceau)

application élémentaire

Soit les droites d'équation 2x + 3y − 1 = 0 et x + 2y + 2 = 0; soit $A\,$ leur point d'intersection. Trouver l'équation de la droite passant par A et le point (1, − 2)

La droite cherchée appartient au faisceau des droites passant par A.

Son équation est de la forme λ(2x + 3y − 1) + μ(x + 2y + 2) = 0. Elle passe par (1, − 2) si et seulement si − 5λ − μ = 0. On peut prendre λ = 1 et μ = − 5 d'où l'équation cherchée

3x + 7y + 11 = 0.

orthocentre de trois tangentes à une parabole

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