Fermeture de Kleene

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La fermeture de Kleene, parfois appelée étoile de Kleene ou encore fermeture itérative, est un opérateur unaire utilisé pour décrire les langages formels. Le nom vient de la notation employée: la fermeture est notée par un astérisque.

L'étoile de Kleene est l'un des trois opérateurs de base utilisés pour définir une expression rationnelle, avec la concaténation et l'union ensembliste.

Appliquée à un ensemble X, elle a pour résultat le langage X ^* , défini ainsi :

1. Si X est un alphabet, c'est-à-dire un ensemble de symboles ou caractères, alors X ^* est l'ensemble des mots sur X, mot vide ε inclus.
2. Si X est un langage, alors X ^* est le plus petit langage qui le contienne, qui contienne ε et qui soit stable par concaténation.

Exemples

Pour l'alphabet {a,b,c}, on a

$\{a,b,c\}^*=\{\varepsilon, a,b,c,aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc,aaa,\ldots\}$

Pour la partie X = {aa,b} composée des deux mots aa et b sur l'alphabet {a,b}, on obtient

$\{aa,b\}^*=\{\varepsilon, b,aa,bb,aab, baa,bbb, aaaa, aabb, baab, bbaa,bbbb,\ldots\}$

Définition

On appelle fermeture de Kleene ou étoile de Kleene d'une partie X d'un monoïde M le sous-monoïde engendré par X. Ce sous-monoïde est noté X ^* . Comme d'usage pour les opérations de fermeture, il peut être défini de trois manières équivalentes:

• X ^* est la plus petite partie de M contenant X et l'élément neutre de M et fermée pour l'opération de M.
• X ^* est l'intersection de tous les sous-monoïdes de M contenant X.
• X ^* est l'ensemble de tous les produits de la forme $x_1x_2\cdots x_n$, pour $n\ge0$ et $x_1,x_2,\ldots, x_n\in X$.

Si X est un ensemble générateur du monoïde M , on a en particulier X ^* = M.

Cas du monoïde libre

Dans le cas d'un alphabet A, on note A ^* l'ensemble de tous les mots sur A. L'ensemble A ^* est un monoïde pour la concaténation, et il est engendré par A (pour être tout à fait rigoureux, A ^* est engendré par les mots composés d'une lettre, que l'on identifie avec les lettres).

Si X est une partie de A ^* , alors X ^* est un sous-monoïde de A ^* qui peut être libre ou pas. Il est d'usage de noter par Xⁿ l'ensemble

$X^n=\{x_1x_2\cdots x_n\mid x_1,x_2,\ldots, x_n\in X\}$

de tous les produits de n éléments de X. On a alors la formule

$X^*=\bigcup_{n\ge0}X^n$.

Si X ^* est un sous-monoïde librement engendré par X, c'est-à-dire si tout mot de X ^* est produit, de manière unique, de mots de X, on dit que X est une code ou que X est une base de X ^* .

Par exemple, l'ensemble X = {aa,b} est un code, et l'ensemble X = {a,ab,ba} n'est pas un code parce que le mot aba possède les deux factorisations

$aba=ab\cdot a=a\cdot ab$.

Opérateur plus

L'opérateur plus est un opérateur analogue à l'étoile de Kleene. Il associe à une partie X d'un demi-groupe M le sous-demi-groupe engendré par X, noté X ⁺ . On a

$X^+=\bigcup_{n>0}X^n$.

Comme d'usage pour l'étoile, l'opérateur plus peut être défini de trois manières équivalentes:

• X ⁺ est la plus petite partie de M contenant X et fermée pour l'opération de M.
• X ⁺ est l'intersection de tous les sous-demi-groupes de M contenant X.
• X ⁺ est l'ensemble de tous les produits de la forme $x_1x_2\cdots x_n$, pour n > 0 et $x_1,x_2,\ldots, x_n\in X$.

Dans un monoïde, on a les relations suivantes entre l'étoile et l'opérateur plus:

$X^*=X^+\cup\{\varepsilon\}, X^+=XX^*=X^*X.$

Voir aussi

• Algèbre de Kleene
• Forme de Backus-Naur étendue