Fluide newtonien

On appelle fluide newtonien (en hommage à Isaac Newton) un fluide dont la loi contrainte–Vitesse de déformation est linéaire^[1],[2],[3]. La constante de proportionnalité est appelée viscosité.

Définition

Viscosité et cisaillement

L’équation décrivant le « comportement newtonien » en description eulérienne est

$\tau=\mu\frac{du}{dy}$

où: τ est la contrainte de cisaillement exercée par le fluide (à l'origine des forces de Traînée) [Pa]

μ est la viscosité du fluide - une constante de proportionnalité caractéristique du matériau [Pa·s]

$\frac{du}{dy}$ est le gradient de vitesse, perpendiculaire à la direction de cisaillement, autrement dit la Vitesse de déformation [s⁻¹]

En termes usuels, cela signifie que le fluide continue de s’écouler indépendamment des forces qui agissent sur lui. Par exemple, l’eau est un fluide newtonien parce qu’elle continue d’'exhiber les propriétés d’un fluide quelle que soit la vitesse avec laquelle on la fait tourner. Les solutions aqueuses, les émulsions sont d’autres exemples de fluides newtoniens. Dans un fluide non-newtonien, la mise en rotation provoque soit l’apparition de creux (qui se comblent graduellement au fil du temps ; on voit ce comportement dans les crèmes et les suspensions d’amidon, ou, rigueur mise à part, dans les limons), soit une ascension du fluide autour de l’agitateur (phénomène dit « effet Weissenberg ») à cause de la thixotropie, la variation brutale de viscosité se traduisant par une propension accrue à l'écoulement (on observe ce phénomène dans les peintures dites « sans tache », qu'il est facile d'étaler mais qui sont plus visqueuses sur un mur).

Pour un fluide newtonien, la viscosité, par definition, ne dépend que de la température et de la pression (mais elle dépend aussi de la composition chimique du fluide si ce n'est pas un corps pur), non des forces agissant sur l'élément de fluide.

Article détaillé : viscosité.

Composante sphérique des contraintes

La notion de fluide newtonien ne décrit que les effets de cisaillement dans le fluide. Il importe de comprendre que la seule précision de « newtonien » ne suffit pas à caractériser la loi de comportement du fluide : il faut y ajoindre les effets de compressibilité.

Si le fluide est incompressible et que la viscosité est uniforme dans le fluide, l’équation donnant la loi de comportement, en description eulérienne et en coordonnées cartésiennes, est

$\begin{cases}div \ u = 0\\ \tau_{ij}=\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)\end{cases}$.

Naturellement, tous les fluides réels sont plus ou moins compressibles.

Un autre tenseur, $\mathbb{P}$ (aussi noté $\mathbf{\sigma}$), représentant la contrainte totale, s'exprime en combinant la contrainte de cisaillement avec la pression conventionnelle (thermodynamique):

$\mathbb{P}_{ij}= - p \delta_{ij} + \mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$

où, selon la convention tensorielle,

τ_ij est la contrainte de cisaillement sur la i-ième facette d'un élément de fluide dans la j-ème direction

p est la pression thermodynamique

u_i est la vitesse dans la i-ième direction

x_j est la j-ième direction coordonnée

Tout fluide ne respectant pas cette loi est dit non-newtonien : il existe différents liquides de ce type, notamment les polymères en fusion, certaines solutions solides et la plupart des fluides fortement visqueux.

Applications

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Le modèle du fluide newtonien joue un rôle central en mécanique des fluides, puisqu'hormis le modèle du fluide parfait incompressible, il fournit le modèle le plus simple de comportement fluide. L'hypothèse de fluide newtonien est à la base :

1. de l’équation de Navier-Stokes;
2. de la solution de Poiseuille pour l’écoulement laminaire des fluides visqueux

Notes et références

1. ↑ Armando Lencastre, Hydraulique générale, Eyrolles, 1957 (réimpr. 1983,1995), 636 p. (ISBN 2-21201894-0), « 4 - Ecoulements en régime permanent » 
2. ↑ Inge L. Rhyming, Dynamique des fluides, Pr. polytechniques romandes, 1957 (réimpr. 1985,1991), 462 p. (ISBN 2-88074-224-2), « Chapitre 6 - Écoulement des fluides visqueux incompressibles », p. 197 
3. ↑ Paul Germain (scientifique), Mécanique des milieux continus, vol. 1 : Théorie générale, Masson & Cie, 1972, 418 p. (ISBN 2-225-35937-4), « VI-2. Fluides », p. 125 

Annexes

Articles connexes

• Effet Weissenberg
• Rhéomètre de Couette
• Fluide de Bingham

Liens externes

Bibliographie

• Paul Germain (scientifique), Mécanique des milieux continus, vol. 1 : Théorie générale, Masson & Cie, 1972, 418 p. (ISBN 2-225-35937-4) 
• J. Lemaitre J.-L. Chaboche, Mécanique des matériaux solides, Paris, Dunod, 1988, 544 p. (ISBN 2-04-18618-2) 
• Inge L. Rhyming, Dynamique des fluides, Pr. polytechniques romandes, 1957 (réimpr. 1985,1991), 462 p. (ISBN 2-88074-224-2), « Chapitre 6 - Écoulement des fluides visqueux incompressibles », p. 197 
• E. Guyon, J.-P. Hulin et L. Petit, Hydrodynamique Physique, CNRS Editions, 2001, 673 p.