Foncteur oubli

Foncteur

En mathématiques, le foncteur est la généralisation aux catégories de la notion de morphismes.

Définitions

Un foncteur $F:\mathcal C\to\mathcal D$ d'une catégorie $\mathcal C$ dans une catégorie $\mathcal D$ est la donnée

• d'une fonction qui, à tout objet A de $\mathcal C$, associe un objet F(A) de $\mathcal D$,
• d'une fonction qui, à tout morphisme $f : A\to B$ de $\mathcal C$, associe un morphisme $F(f): F(A)\rightarrow F(B)$ de $\mathcal D$,

qui

• respectent les identités: pour tout objet A de $\mathcal C$,

F(id_A) = id_F(A),

• respectent la composition: pour tous objets A, B et C et morphismes $f:A\to B$ et $g:B\to C$ de $\mathcal C$,

$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$.

Un foncteur contravariant d'une catégorie $\mathcal C$ dans une catégorie $\mathcal D$ est un foncteur de $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ dans $\mathcal D$. Pour souligner le fait qu'il n'est pas contravariant un foncteur est parfois appelé foncteur covariant.

Foncteurs adjoints

Soient C et D deux catégories, F un foncteur de C dans D et G de D dans C tels que pour tout objet $X \in C$ et $Y \in D$ on ait une bijection naturelle en X et Y $Hom _ D \left( F \left (X \right), Y\right) \approx Hom _ C \left( X , G \left (Y \right) \right)$. Alors F et G sont des foncteurs adjoints, F est adjoint à gauche de G et G est adjoint à droite de F.

Article détaillé : Adjoint (foncteur).

Exemples

• Le foncteur identité d'une catégorie $\mathcal C$, souvent noté $I:\mathcal C\to\mathcal C$, qui laisse les objets et les morphismes de la catégorie invariants.
• Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets :

• le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie qui contient aussi les groupes non abéliens (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien) ;
• le foncteur de Grp dans Set qui à un groupe associe l'ensemble sous-jacent (on a « oublié » la structure de groupe).

• Le foncteur de faisceaux, d'une catégorie dans la catégorie de ses faisceaux, qui associe à chaque objet X le faisceau $U \mapsto Hom (U, X)$ et son dual (contravariant) qui lui associe $U \mapsto Hom (X, U)$. Dans ce cas Hom( * ,pt) est le faisceau terminal (ou constant ou point) et $Hom (*, \emptyset)$ l'initial (ou vide). Le foncteur de faisceau est une représentation d'une catégorie dans son topos et permet d'identifier chaque objet au faisceau qu'il représente.

Propriété

L'image d'un isomorphisme par un foncteur est un isomorphisme.

Remarques

• Le foncteur constant (tous les objets ont le même objet image et chaque flèche est envoyée sur l'identité) est l'objet terminal de la catégorie des foncteurs).
• Les foncteurs sont parfois appelés morphismes pour la catégorie des catégories.

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