Fonction De Von Mangoldt

Fonction de von Mangoldt

En mathématiques, la fonction de von Mangoldt est une fonction arithmétique nommée en l'honneur du mathématicien allemand Hans von Mangoldt.

Définition

La fonction de von Mangoldt, écrite de manière conventionnelle $\Lambda(n)\,$, est définie par

$\Lambda(n) = \begin{cases} \ln p & \mbox{si }n=p^k \mbox{ pour un nombre premier } p \mbox{ et un entier } k \ge 1, \\ 0 & \mbox{autrement.} \end{cases}$

Elle est un exemple d'une importante fonction arithmétique qui est ni multiplicative ni additive.

La fonction de von Mangoldt satisfait l'identité^[1]

$\ln n = \sum_{d\,\mid\,n} \Lambda(d),\,$

c’est-à-dire, la somme est prise sur tous les entiers d qui divise n. La fonction sommatoire de von Mangoldt, $\psi\,(x)$, aussi connue comme la fonction de Tchebychev, est définie comme

$\psi(x) = \sum_{n\le x} \Lambda(n).$

von Mangoldt a fourni une preuve rigoureuse d'une formule explicite pour $\psi(x)\,$, impliquant une somme sur les zéros non-triviaux de la fonction zeta de Riemann^[2] . Ce fut une partie importante de la première démonstration du théorème des nombres premiers.

Séries de Dirichlet

La fonction de von Mangoldt joue un rôle important dans la théorie des séries de Dirichlet, ainsi que la fonction zeta de Riemann. En particulier, on a

$\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}$

pour $\Re(s) > 1$. La dérivée logarithmique est alors

$\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.$

Celles-ci sont des cas particuliers d'une relation plus générale de séries de Dirichlet^[1]. Si on a

$F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}$

pour une fonction complètement multiplicative f(n), et si la série converge pour $\Re(s) > \sigma_0$, alors

$\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}$

converge pour $\Re(s) > \sigma_0$.

La transformation de Mellin

La transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev peut être trouvée en appliquant la formule de Perron :

$\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = - s\int_1^\infty \frac{\psi(x)}{x^{s+1}}\,dx$

qui reste vraie pour $\Re(s)>1\,$.

Série exponentielle

Une série exponentielle impliquant la fonction de von Mangoldt, sommée jusqu'au premier 10⁹ terms

Hardy et Littlewood ont examiné les séries^[3]

$F(y)=\sum_{n=2}^\infty \left(\Lambda(n)-1\right) e^{-ny}$

et ont démontré que

$F(y)=\mathcal{O}\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right).$

Curieusement, ils ont aussi montré que cette fonction est oscillatoire, avec des oscillations divergentes. En particulier, il existe une valeur K > 0 telle que

$F(y)< -\frac{K}{\sqrt{y}}$ et $F(y)> \frac{K}{\sqrt{y}}$

infiniment souvent. Le graphe sur la droite indique que ce comportement n'est pas évident sur les premiers nombres : les oscillations ne sont pas aperçues clairement jusqu'à ce que la série soit sommée par excès jusqu'à 100 millions de termes, et sont seulement visibles lorsque y < 10 ^{− 5}.

Le rapport de Riesz

Le rapport de Riesz de la fonction de von Mangoldt est donné par

$\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n)$

$= - \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s ds$

$= \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_\rho \frac {\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)} +\sum_n c_n \lambda^{-n}.$

Ici, $\lambda\,$ et $\delta\,$ sont des nombres caractérisant le rapport de Riesz. On doit prendre $c>1\,$. La somme sur $\rho\,$ est la somme sur les zéros de la fonction zeta de Riemann, et $\sum_n c_n \lambda^{-n}\,$ peut être montrée comme une série convergente pour $\lambda > 1\,$.

Voir aussi

• Fonction de compte des nombres premiers

Références

1. ↑ ^{a  et b} Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976. (See theorem 2.10)
2. ↑ [pdf] Allan Gut, Some remarks on the Riemann zeta distribution (2005)
3. ↑ G.H. Hardy and J.E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41(1916) pp.119-196.

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