Fonction Eta De Dirichlet

Fonction Eta De Dirichlet

Fonction êta de Dirichlet

Représentation de la fonction êta de Dirichlet dans le plan complexe.

La fonction êta de Dirichlet peut être définie par

\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)

\zeta\, est la fonction zêta de Riemann. Néanmoins, elle peut aussi être utilisée pour définir la fonction zêta. Elle possède une expression en série de Dirichlet, valide pour tout nombre complexe s avec une partie réelle positive, donnée par

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s}.

Tandis que ceci est convergent seulement pour s avec une partie réelle positive, elle est sommable au sens d'Abel pour tout nombre complexe, qui servent à définir la fonction êta comme une fonction entière, et montre que la fonction zêta est méromorphe avec un pôle singulier en s = 1.

De manière équivalente, nous pouvons commencer par définir

\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1}{dx}

qui est aussi définie dans la région de la partie réelle positive. Ceci présente la fonction êta comme une transformation de Mellin.

Hardy a donné une démonstration simple de l'équation fonctionnelle pour la fonction êta, qui est

\eta(-s) = 2 \frac{1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}} \pi^{-s-1} s \sin\left({\pi s \over 2}\right) \Gamma(s)\eta(s+1) .

Cette équation fonctionnelle se déduit immédiatement de celle de la fonction zêta, mais elle est plus complexe car la fonction êta n'est pas une série L de Dirichlet (elle n'est pas déduite d'un caractère de Dirichlet).

Méthode de Borwein

Peter Borwein a utilisé des approximations impliquant les polynômes de Tchebychev pour concevoir une méthode pour une évaluation efficace de la fonction êta. Si d_k = n\sum_{i=0}^k \frac{(n+i-1)!4^i}{(n-i)!(2i)!} alors

\eta(s) = -\frac{1}{d_n} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k(d_k-d_n)}{(k+1)^s}+\gamma_n(s),

où, pour \Re(s) \ge \frac{1}{2} , le terme erroné \gamma_n\, est borné par

\gamma_n(s) \le \frac{3}{(3+\sqrt{8})^n} (1+2|t|)e^{|t|\pi/2}

t = \Im(s)\,.

Publications

Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34 ou http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Fonction %C3%AAta de Dirichlet ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction Eta De Dirichlet de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Fonction eta de Dirichlet — Fonction êta de Dirichlet Représentation de la fonction êta de Dirichlet dans le plan complexe. La fonction êta de Dirichlet peut être définie par où …   Wikipédia en Français

  • Fonction eta de dirichlet — Fonction êta de Dirichlet Représentation de la fonction êta de Dirichlet dans le plan complexe. La fonction êta de Dirichlet peut être définie par où …   Wikipédia en Français

  • Fonction êta de Dirichlet — Représentation de la fonction êta de Dirichlet dans le plan complexe. La fonction êta de Dirichlet peut être définie par où est la foncti …   Wikipédia en Français

  • Fonction Eta De Dedekind — Fonction êta de Dedekind La fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire positive. Pour chaque nombre complexe τ dans cet ensemble, on définit q = e2iπτ et la… …   Wikipédia en Français

  • Fonction eta de Dedekind — Fonction êta de Dedekind La fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire positive. Pour chaque nombre complexe τ dans cet ensemble, on définit q = e2iπτ et la… …   Wikipédia en Français

  • Fonction eta de dedekind — Fonction êta de Dedekind La fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire positive. Pour chaque nombre complexe τ dans cet ensemble, on définit q = e2iπτ et la… …   Wikipédia en Français

  • Fonction êta de Dedekind — La fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire positive. Pour chaque nombre complexe τ dans cet ensemble, on définit q = e2iπτ et la fonction êta est… …   Wikipédia en Français

  • Fonction Zeta de Riemann — Fonction zêta de Riemann En mathématiques, la fonction ζ de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des… …   Wikipédia en Français

  • Fonction Zêta De Riemann — En mathématiques, la fonction ζ de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des nombres premiers. Elle est… …   Wikipédia en Français

  • Fonction dzêta de Riemann — Fonction zêta de Riemann En mathématiques, la fonction ζ de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”