Fonction Polylogarithme

Fonction polylogarithme

La fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une fonction remarquable et peut être définie pour tout s et |z|<1 par :

$Li_s(z) \equiv \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}$

Le paramètre s et l'argument z sont pris sur l'ensemble $\mathbb{C}\,$, l'ensemble des nombres complexes. Les cas particuliers s=2 et s=3 sont appelés le polylogarithme d'ordre 2 ou dilogarithme et le polylogarithme d'ordre 3 ou trilogarithme respectivement. Le polylogarithme apparaît aussi dans la forme fermée de l'intégrale de la distribution de Fermi-Dirac et la distribution de Bose-Einstein et est quelque fois connue comme l'intégrale de Fermi-Dirac ou l'intégrale de Bose-Einstein. Les polylogarithmes ne doivent pas être confondus avec les fonctions polylogarithmiques ni avec le logarithme intégral qui possèdent une notation similaire.

Le polylogarithme est défini sur un intervalle de z plus grand que la définition ci-dessus permis par le processus de prolongement analytique.

Différentes fonctions polylogarithmes dans le plan complexe:

$\operatorname{Li}_{-3}(z)$	$\operatorname{Li}_{-2}(z)$	$\operatorname{Li}_{-1}(z)$	$\operatorname{Li}_{0}(z)$	$\operatorname{Li}_{1}(z)$	$\operatorname{Li}_{2}(z)$	$\operatorname{Li}_{3}(z)$

Propriétés

Dans le cas important où le paramètre s est un nombre entier, il sera représenté par n (ou -n lorsqu'il est négatif). Il est souvent pratique de définir $\mu = \ln(z)\,$ où ln est la branche principale du logarithme naturel, c’est-à-dire $- \pi < \Im(\mu) \le \pi\,$. Ainsi, toute l'exponentiation sera supposée être à valeur unique. (e.g. $z^s = e^{(s \ln(z))}\,$).

Dépendant du paramètre s, le polylogarithme peut être à valeurs multiples. La branche principale du polylogarithme est celle pour laquelle $Li_s(z)\,$ est réel pour z réel, $0 \le z \le 1\,$ et est continu excepté sur l'axe des réels positifs, où une coupure est faite de z=1 à $\infty\,$ telle que la coupure place l'axe réel sur le demi-plan le plus bas de z. En termes de $\mu\,$, ceci s'élève à $- \pi < \arg(-\mu) \le \pi\,$. Le fait que le polylogarithme puisse être discontinu en $\mu\,$ peut causer une certaine confusion.

Pour z réel et $z \ge 1\,$, la partie imaginaire du polylogarithme est (Wood) :

$\textrm{Im}(Li_s(z)) = -{{\pi \mu^{s-1}}\over{\Gamma(s)}}$

En traversant la coupure :

$\lim_{\delta\rightarrow 0^+}\textrm{Im}(Li_s(z+i\delta)) = {{\pi \mu^{s-1}}\over{\Gamma(s)}}$

Les dérivées du polylogarithme sont :

$z{\partial Li_s(z) \over \partial z} = Li_{s-1}(z)$

${\partial Li_s(e^\mu) \over \partial \mu} = Li_{s-1}(e^\mu)$

Valeurs particulières

Voir aussi la section "#Relation de parenté avec les autres fonctions" ci-dessous.

Pour les valeurs entières de s, nous avons les expressions explicites suivantes :

$Li_{1}(z) = -\textrm{ln}\left(1-z\right)$

$Li_{0}(z) = {z \over 1-z}$

$Li_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}$

$Li_{-2}(z) = {z(1+z) \over (1-z)^3}$

$Li_{-3}(z) = {z(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}$

Le polylogarithme, pour toutes les valeurs entières négatives de s, peut être exprimé comme un rapport de polynômes en z (Voir les représentations en série ci-dessous). Certaines expressions particulières pour les demi valeurs entières de l'argument sont :

$Li_{1}\left(1/2\right) = \textrm{ln}(2)$

$Li_{2}(1/2) = {1 \over 12}[\pi^2-6(\ln 2)^2]$

$Li_{3}(1/2) = {1 \over 24}[4(\ln 2)^3-2\pi^2\ln 2+21\,\zeta(3)]$

où $\zeta\,$ est la fonction Zeta de Riemann. Aucune formule similaire de ce type n'est connue pour des ordres plus élevés (Lewin, 1991 p2).

Expressions alternatives

• L'intégrale de la distribution de Bose-Einstein est exprimée en termes de polylogarithme :

$Li_{s+1}(z) \equiv {1 \over \Gamma(s+1)} \int_0^\infty {t^s \over e^t/z-1} dt$

Celle-ci converge pour $\Re(s) > 0\,$ et tous les z excepté pour les z réels et $\ge 1\,$. Le polylogarithme dans ce contexte est quelquefois connu comme l'intégrale de Bose ou l'intégrale de Bose-Einstein.

• L'intégrale de la distribution de Fermi-Dirac est aussi exprimée en termes de polylogarithme :

$-Li_{s+1}(-z) \equiv {1 \over \Gamma(s+1)} \int_0^\infty {t^s \over e^t/z+1} dt.$

Celle-ci converge pour $\Re(s) > 0\,$ et tous les z excepté pour les z réels et < -1. Le polylogarithme dans ce contexte est quelquefois connu comme l'intégrale de Fermi ou l'intégrale de Fermi-Dirac. (GNU)

• Le polylogarithme peut plutôt être généralement représenté par une intégrale curviligne d'Hankel (Whittaker & Watson sect. 12.22, sect. 13.13).

• Tant que le pôle $t=\mu\,$ de l'intégrande n'est pas relié à l'axe réel positif, et $s \ne 1,2,3\ldots\,$, nous avons :

  $Li_s(e^\mu)={{-\Gamma(1-s)}\over{2\pi i}}\oint_H {{(-t)^{s-1}}\over{e^{t-\mu}-1}}dt$

  Où H représente le contour d'Hankel. L'intégrande possède une coupure le long de l'axe réel de zéro à l'infini, l'axe réel étant sur la moitié inférieure de la feuille ($\Im(t) \le 0\,$).

• Pour le cas où $\mu\,$ est réel et positif, nous pouvons simplement ajouter la contribution limitante du pôle :

  $Li_s(e^\mu)=-{{\Gamma(1-s)}\over{2\pi i}}\oint_H {{(-t)^{s-1}}\over{e^{t-\mu}}-1}dt + 2\pi i R$

  où R est le résidu du pôle :

  $R = {{\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}}\over{2\pi}}$

• La relation carrée est facilement vue à partir de l'équation  :

(voir aussi Clunie, Schrödinger)

$Li_s(-z) + Li_s(z) = 2^{1-s} ~ Li_s(z^2)$

La fonction de Kummer obéit à une formule de duplication très similaire.

Relation de parenté avec les autres fonctions

• Pour z=1, le polylogarithme se réduit à la fonction Zeta de Riemann

$Li_s(1) = \zeta(s)~(\textrm{Re}(s)>1)$

• Le polylogarithme est relié à la fonction eta de Dirichlet et la fonction beta de Dirichlet :

$Li_s(-1) = \eta\left(s\right)$

où $\eta(s)\,$ est la fonction eta de Dirichlet.

Pour des arguments imaginaires purs, nous avons :

$Li_s(\pm i) = 2^{-s}\eta(s)\pm i \beta(s)$

où $\beta(s)\,$ est la fonction beta de Dirichlet.

• Le polylogarithme est équivalent à l'intégrale de Fermi-Dirac (GNU)

$F_s(\mu)=-Li_{s+1}(-e^\mu)\,$

• Le polylogarithme est un cas particulier de la fonction transcendante de Lerch (Erdélyi sect. 1.11-14)

$Li_s(z)=z~\Phi(z,s,1)$

• Le polylogarithme est relié à la fonction zeta d'Hurwitz par :

$Li_s(e^{2\pi i x})+(-1)^s Li_s(e^{-2\pi i x})={(2\pi i)^s \over \Gamma(s)}~\zeta\left (1-s,x\right)$

où $\Gamma(s)\,$ est la fonction Gamma d'Euler. Ceci est valable pour

$\textrm{Re}(s)>1, \textrm{Im}(x)\ge 0, 0 \le \textrm{Re}(x) < 1$

et aussi pour

$\textrm{Re}(s)>1, \textrm{Im}(x)\le 0, 0 < \textrm{Re}(x) \le 1$

(L'équation équivalente d'Erdélyi sect. 1.11-16 n'est pas correcte si nous supposons que les branches principales du polylogarithme et le logarithme sont utilisés simultanément).

Cette équation fournit le prolongement analytique de la représentation en série du polylogarithme au-delà de son cercle de convergence |z|=1.

• En utilisant la relation entre la fonction zeta d'Hurwitz et les polynômes de Bernoulli :

$\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}$

qui reste valable pour tous les x et n=0,1,2,3,... il peut être remarqué que :

$Li_{n}(e^{2\pi i x})+ (-1)^n Li_{n}(e^{-2\pi i x}) = -{(2 \pi i)^n\over n!} B_n\left({x}\right)$

sous les mêmes contraintes sur s et x comme ci-dessus. (L'équation correspondante d'Erdélyi sect. 1.11-18 n'est pas correcte) Pour les valeurs entières négatives du paramètre, nous avons pour tous les z (Erdélyi sect. 1.11-17) :

$Li_{-n}(z)+ (-1)^n Li_{-n}\left(1/z\right)=0~~n=1,2,3\ldots$

• Le polylogarithme avec un $\mu\,$ imaginaire pur peut être exprimé en termes de fonctions de Clausen $Ci_s(\theta)\,$ et $Si_s(\theta)\,$ (Lewin, 1958 Ch VII sect. 1.4, Abramowitz & Stegun sect. 27.8)

$Li_s(e^{\pm i \theta}) = Ci_s(\theta) \pm i Si_s(\theta)$

• La fonction tangente intégrale inverse $Ti_s(z)\,$ (Lewin, 1958 Ch VII sect. 1.2) peut être exprimée en termes de polylogarithmes :

$Li_s(\pm iy)=2^{-s}Li_s(-y^2)\pm i\,Ti_s(y)$

• La fonction chi de Legendre $\chi_s(z)\,$ (Lewin, 1958 Ch VII sect. 1.1, Boersma) peut être exprimée en termes de polylogarithmes :

$\chi_s(z)={1 \over 2}~[Li_s(z)-Li_s(-z)]$

• Le polylogarithme peut être exprimé comme une série de fonctions de Debye $Z_n(z)\,$ (Abramowitz & Stegun sect. 27.1)

$Li_{n}(e^\mu)=\sum_{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu){\mu^k \over k!}(n=1,2,3,\ldots)$

Une expression remarquablement similaire relie la fonction de Debye au polylogarithme :

$Z_n(\mu)=\sum_{k=0}^{n-1}Li_{n-k}(e^{-\mu}){\mu^k \over k!}(n=1,2,3,\ldots)$

Représentations en séries

• Nous pouvons représenter le polylogarithme comme une série de puissances pour $\mu=0\,$ comme suit : (Robinson). Considérons la transformation de Mellin :

$M_s(r) =\int_0^\infty \textrm{Li}_s(fe^{-u})u^{r-1}\,du ={1 \over \Gamma(s)}\int_0^\infty\int_0^\infty {t^{s-1}u^{r-1} \over e^{t+u}/f-1}~dt~du$

Le changement de variables t=ab, u=a(1-b) permet à l'intégrale d'être séparée :

$M_s(r)={1 \over \Gamma(s)}\int_0^1 b^{r-1} (1-b)^{s-1}db\int_0^\infty{a^{s+r-1} \over e^a/f-1}da = \Gamma(r)\textrm{Li}_{s+r}(f)$

pour f=1 nous avons, à travers la transformation inverse de Mellin :

$Li_{s}(e^{-u})={1 \over 2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\Gamma(r) \zeta(s+r)u^{-r}dr$

où c est une constante à droite des pôles de l'intégrande.

Le chemin d'intégration peut être convert en un contour fermé, et les pôles de l'intégrande sont ceux de $\Gamma(r)\,$ à r=0,-1,-2,..., et de $\zeta(s+r)\,$ à r=1-s. Sommer les résidus donnent, pour | μ | < 2π et $s \ne 1,2,3,\ldots\,$

$Li_s(e^\mu) = \Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1} + \sum_{k=0}^\infty {\zeta(s-k) \over k!}~\mu^k$

Si le paramètre s est un entier positif, n, ainsi que le k=n-1 terme, la fonction gamma devient infinie, bien que leur somme ne l'est pas. Pour un entier k>0, nous avons :

$\lim_{s\rightarrow k+1}\left[ {\zeta(s-k)\mu^k \over k!}+\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}\right] = {\mu^k \over k!}\left(\sum_{m=1}^k{1 \over m}-\textrm{Ln}(-\mu)\right)$

et pour k=0:

$\lim_{s\rightarrow 1}\left[ \zeta(s)+\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}\right] = -\textrm{Ln}(-\mu)$

Ainsi, pour s=n où n est un entier positif et $|\mu|<2\pi\,$, nous avons ce qui suit :

$Li_{n}(e^\mu) = {\mu^{n-1} \over (n-1)!}\left(H_{n-1}-\textrm{Ln}(-\mu)\right) +$

$\sum_{k=0,k\ne n-1}^\infty {\zeta(n-k) \over k!}~\mu^k ~(n=2,3,4,\ldots)$

$Li_{1}(e^\mu) =-\textrm{Ln}(-\mu)+ \sum_{k=1}^\infty {\zeta(1-k) \over k!}~\mu^k ~(n=1)$

Où $H_{n-1}\,$ est un nombre harmonique :

$H_{n-1}\equiv \sum_{k=1}^{n-1}{1\over k}$

Le problème des termes contient maintenant $-ln(-\mu)\,$ qui, lorsqu'ils sont multipliés par $\mu^k\,$ tendront vers zéro quand $\mu\,$ tend vers zéro, excepté pour k=0. Ceci reflète le fait que qu'il existe une vraie singularité logarithmique en $Li_s(z)\,$ en s=1 et z=1, puisque :

$\lim_{\mu\rightarrow 0}\Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1}=0~~(\textrm{Re}(s)>1)$

En utilisant la parenté entre la fonction Zeta de Riemann et les nombres de Bernoulli $B_k\,$ :

$\zeta(-n)=(-1)^n{B_{n+1} \over n+1}~~(n=0,1,2,3,\ldots)$

nous obtenons pour les valeurs entières négatives de s et | μ | < 2π :

$Li_{-n}(z) = {n! \over (-\mu)^{n+1}}- \sum_{k=0}^{\infty} { B_{k+n+1}\over k!~(k+n+1)}~\mu^k ~~(n=1,2,3,\ldots)$

puisque, excepté pour $B_1\,$, tous les nombres de Bernoulli sont égaux à zéro. Nous obtenons le terme n=0 en utilisant $\zeta(0)=B_1=-\frac{1}{2}\,$. Encore, l'équation équivalent d'Erdélyi sect. 1.11-15 n'est pas correcte si nous supposons que les branches principales du polylogarithme et le logarithme sont utilisées simultanément, puisque $\ln(\frac{1}{z})\,$ n'est pas uniformément égal à $-ln(z)\,$.

• L'équation définie peut être étendue aux valeurs négatives du paramètre s en utilisant une intégrale curviligne d'Hankel (Wood, Gradshteyn & Ryzhik sect. 9.553) :

$Li_s(e^\mu)=-{\Gamma(1-p) \over 2\pi i}\oint_H{(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu}-1}dt$

Où H est le contour d'Hankel qui peut être modifié pour qu'il entoure les pôles de l'integrande, à t − μ = 2kπi, l'intégrale peut être évaluée comme la somme des résidus :

$Li_s(e^\mu)=\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty (2k\pi i-\mu)^{s-1}$

Ceci restera valable pour Re(s) < 0 et tous les z excepté pour z=1.

• Pour les entiers négatifs s, le polylogarithme peut être exprimé comme une série impliquent les nombres d'Euler

$Li_{-n}(z) = {1 \over (1-z)^{n+1}} \sum_{i=0}^{n-1}\left\langle{n\atop i}\right\rangle z^{n-i} ~(n=1,2,3,\ldots)$

Où $\left\langle{n\atop i}\right\rangle$ sont les nombres d'Euler :

• Une autre formule explicite pour les entiers négatifs s est (Wood) :

$Li_{-n}(z) = \sum_{k=1}^{n+1}{(-1)^{n+k+1}(k-1)!S(n+1,k) \over (1-z)^k} ~(n=1,2,3,\ldots)$

Où S(n,k) sont les nombres de Stirling de deuxième espèce.

Comportement aux limites

Les limites suivantes restent valables pour le polylogarithme (Wood) :

$\lim_{|z|\rightarrow 0} Li_s(z) = \lim_{s \rightarrow \infty} Li_s(z) = z$

$\lim_{\mathrm{Re}(\mu) \rightarrow \infty} Li_s(e^\mu) = -{\mu^s \over \Gamma(s+1)} (s\ne -1, -2,-3,\ldots)$

$\lim_{\mathrm{Re}(\mu) \rightarrow \infty} Li_{n}(e^\mu) = -(-1)^ne^{-\mu} (n=1,2,3,\ldots)$

$\lim_{|\mu|\rightarrow 0} Li_s(e^\mu) = \Gamma(1-s)(-\mu)^s(s<1)$

Echelles de polylogarithmes

Leonard Lewin a découvert une remarquable généralisation d'un grand nombre de relations classiques sur les polylogarithmes pour des valeurs particulières. Celles-ci sont maintenant appelées les échelles de polylogarithmes. Définissons $\rho=\frac{(\sqrt{5}-1)}{2}\,$ comme l'inverse du nombre d'or. Alors, deux exemple simples des résultats issus des échelles incluent

$Li_2(\rho^6)=4Li_2(\rho^3)+3Li_2(\rho^2)-6Li_2(\rho)+\frac{7\pi^2}{30}$

donné par Coxeter en 1935, et

$Li_2(\rho)=\frac{\pi^2}{10} - \log^2\rho$

donné par Landen. Les échelles de polylogarithmes apparaissent naturellement et profondément en K-théorie.

Histoire

Don Zagier a remarqué que "Le dilogarithme est la seule fonction mathématique avec un sens de l'humour."

Publications en langue anglaise

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• Bailey, D.; Borwein, P.; and Plouffe, S. "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants."

• Bailey, D. H. and Broadhurst, D. J. "A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder." 20 Jun 1999.

• Boersma, J. and Dempsey, J. P. "On the evaluation of Legendre's chi-function", Mathematics of Computation, 59, 199, pp. 157-163, 1992.

• Borwein, J. M.; Bradley, D. M.; Broadhurst, D. J.; and Lisonek, P. "Special Values of Multidimensional Polylogarithms." CECM-98:106, 14 May. http://www.cecm.sfu.ca/preprints/1998pp.html\#98:106

• Borwein, J. M.; Bradley, D. M.; Broadhurst, D. J.; and Lisonek, P. "Special Values of Multidimensional Polylogarithms." 8 Oct 1999.

• Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 323-326, 1994.

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• GNU Scientific Library - Reference Manual cf GNU Scientific Library

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