Fonction Propre

Fonction propre

En mathématique

En mathématiques, une fonction propre f d'un opérateur linéaire A sur un espace de fonctions est un vecteur propre de l'opérateur linéaire. C'est une fonction non identiquement nulle et satisfaisant :

$\mathcal A f = \lambda f$

pour un scalaire λ, la valeur propre associée à f. L'existence de vecteurs propres est typiquement de grand secours pour analyser A.

Par exemple, pour tout réel $\ \alpha$, $f_\alpha : \R \to \R,\,x \mapsto e^{\alpha x}$ est une fonction propre pour l'opérateur différentiel

$\mathcal A = \frac{d^2}{dx^2} - \frac{d}{dx},$

avec comme valeur propre correspondante $\ \lambda = \alpha^2 - \alpha$.

En mécanique quantique

En mécanique quantique les fonctions propres jouent un rôle important, où l'équation de Schrödinger :

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = \mathcal H \psi$

a des solutions de la forme :

$\psi\left(t\right) = \sum_k e^{-i E_k t/\hbar} \phi_k,$

où les $\ \phi_k$ sont des fonctions propres de l'opérateur $\mathcal H$ avec les valeurs propres $\ E_k$. À cause de la nature de l'opérateur hamiltonien $\mathcal H$, ces fonctions propres sont orthogonales. Cela n'est pas nécessairement le cas pour les fonctions propres d'autres opérateurs (comme l'exemple $\ A$ mentionné ci-haut).

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